INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA

           Conocimientos previos. Trigono significa triángulo y metron, medida, o sea que trigonometría="medida de triángulos".

Un poco de historia.  Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa.

  Su origen se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia, y la usaban para efectuar medidas en agricultura y en la construcción de las pirámides. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C., el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos similar a la moderna tabla del seno. De Grecia pasó a la India y a Arabia, desde donde se difundió por Europa.

 

RECUERDA QUE... un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas.

 

 

       Unidades de medida de ángulos.

 a) Grados sexagesimales.  Si dividimos la circunferencia  en 360 partes iguales, cada una se denomina grado sexagesimal. (El término sexagesimal significa que van de 60 en 60, es decir, 1 = 60';  1' = 60'')

b) Radianes. Se dice que un ángulo mide un radián (rad) si barre un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la misma.

        Equivalencia entre grados y radianes

        Un ángulo de 360 barre un arco de longitud igual a la longitud de la circunferencia, esto es, 2Pir

        Por lo tanto: 360 = 2Pir/r rad = 2Pi rad

Actividades: 

    a) Representa los ángulos 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150, 180 y 360. 

    b) Calcula, en cada caso, su valor en radianes.

    c) Comprueba si tus resultados coinciden con los que aparecen en la esquina superior izquierda

       

Razones trigonométricas de un ángulo agudo

Observa el ángulo de la figura. Subimos perpendicularmente por el punto P hasta obtener el punto B. De esta forma tenemos el ángulo formando parte de un triángulo rectángulo.

Se definen sus razones trigonométricas como las razones entre los lados de dicho triángulo:

Seno de : es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo (PB) y la hipotenusa (OB), y se representa por sen ;

Coseno de : es el cociente entre el cateto contiguo al ángulo (OP) y la hipotenusa (OB). Se representa por cos 

Tangente de : es el cociente entre el seno y el coseno, esto es, entre el cateto opuesto PB y el cateto contiguo OP. Se representa por tg .

A las razones inversas de éstas se les llama, respectivamente, cosecante de (cosec ), secante de (sec ) y cotangente de (cotg ).

Estas razones no dependen del triángulo rectángulo que se considere (porque en virtud del teorema de Thales todos estos triángulos son semejantes, por lo que sus lados correspondientes son proporcionales). Sólo dependen del ángulo .

Arrastra el punto P a lo largo de la semirrecta horizontal y comprueba que las razones trigonométricas del ángulo permanecen invariables.

   

 

 

Comprueba con tu calculadora el valor de las razones trigonométricas del ángulo para cinco valores diferentes de dicho ángulo.

   

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

        Sea A un ángulo cualquiera. Lo representamos con el vértice en el origen de coordenadas O y una de sus semirrectas sobre el semieje positivo de abscisas OX. Elegimos un punto cualquiera P de la otra semirrecta.

        Se define el seno del ángulo como el cociente entre la ordenada del punto P, PQ, y la distancia OP;

        y el coseno del ángulo como el cociente entre la abscisa del punto P y la distancia OP.

(Recuerda que los ángulos positivos se miden en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj).

a) Utiliza el siguiente applet para obtener los valores del seno y del coseno de los siguientes ángulos: 135, 150, 180, 210, 240, 300. 

b) Para qué ángulos el seno siempre es negativo? Y el coseno? Y ambos? Cómo es en estos casos la tangente?

   

 

           La circunferencia trigonométrica.

Si hacemos coincidir el centro de una circunferencia de radio unidad con el origen de coordenadas obtenemos la circunferencia trigonométrica (también llamada circunferencia goniométrica), en la que el seno y el coseno de un ángulo vienen representados por la ordenada y por la abscisa, respectivamente, del punto P.

     

 

Francisco Javier Boado Rial
Ministerio de Educación. Año 2002