ATRACTORES

Teoría del caos

1. ATRACTORES

Una manera de visualizar el movimiento caótico, o cualquier tipo de movimiento, es hacer un diagrama de fases del movimiento. En tal diagrama el tiempo es implícito y cada eje representa una dimensión del estado. Por ejemplo, un sistema en reposo será dibujado como un punto, y un sistema en movimiento periódico será dibujado como un círculo.

Algunas veces el movimiento representado con estos diagramas de fases no muestra una trayectoria bien definida, sino que ésta se encuentra errada alrededor de algún movimiento bien definido. Cuando esto sucede se dice que el sistema es atraído hacia un tipo de movimiento, es decir, que hay un atractor.

De acuerdo a la forma en que sus trayectorias evolucionen, los atractores pueden ser clasificados como periódicos, cuasi-periódicos y extraños. Estos nombres se relacionan exactamente con el tipo de movimiento que provocan en los sistemas. Un atractor periódico, por ejemplo, puede guiar el movimiento de un péndulo en oscilaciones periódicas; sin embargo, el péndulo seguirá trayectorias erráticas alrededor de estas oscilaciones debidas a otros factores menores.

2. ATRACTORES EXTRAÑOS

La mayoría de los tipos de movimientos mencionados en la teoría anterior sucede alrededor de atractores muy simples, tales como puntos y curvas circulares llamadas ciclos límite. En cambio, el movimiento caótico está ligado a lo que se conoce como atractores extraños, atractores que pueden llegar a tener una enorme complejidad como, por ejemplo, el modelo tridimensional del sistema climático de Lorenz, que lleva al famoso atractor de Lorenz. El atractor de Lorenz es, quizá, uno de los diagramas de sistemas caóticos más conocidos, no sólo porque fue uno de los primeros, sino también porque es uno de los más complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar más bien parecida a las alas de una mariposa.

Los atractores extraños están presentes tanto en los sistemas continuos dinámicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo el mapa Hènon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repelente de tipo Conjunto de Julia la cual se forma en el límite entre las cuencas de dos puntos de atracción fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extraño. Ambos, atractores extraños y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen típicamente una estructura fractal.

El teorema de Poincaré-Bendixson muestra que un atractor extraño sólo puede presentarse como un sistema continuo dinámico si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, tal restricción no se aplica a los sistemas discretos, los cuales pueden exhibir atractores extraños en sistemas de dos o incluso una dimensión.

Diagrama de la trayectoria del sistema de Lorenz para los valores r = 28, σ = 10, b = 8/3

3. ALGO MAS DE ATRACTORES

Los atractores extraños son curvas del espacio de las fases que describen la trayectoria de un sistema en movimiento caótico. Un sistema de estas características es plenamente impredecible, saber la configuración del sistema en un momento dado no permite predecir con veracidad su configuración en un momento posterior. De todos modos, el movimiento no es completamente aleatorio.

En la mayoría de sistemas dinámicos se encuentran elementos que permiten un tipo de movimiento repetitivo y, a veces, geométricamente establecido. Los atractores son los encargados de que las variables que inician en un punto de partida mantengan una trayectoria establecida, y lo que no se puede establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las órbitas que puedan llegar a establecer los atractores. Por ejemplo, es posible ver y de cierta manera prever la trayectoria de un satélite alrededor de la Tierra; lo que aparece en este caso como algo indeterminado, son los movimientos e inconvenientes varios que se le pueden presentar al objeto para efectuar este recorrido.

La forma de una elipse se caracteriza por un parámetro denominado excentricidad, e. Una circunferencia será una elipse con e=0. Cuanto mayor sea el valor de e más acusada será la forma de la elipse, es decir, el eje horizontal, a, será tanto mayor que el vertical, b, a medida que e crece.
Así mismo, se incluye en la escena el valor de la distancia focal, F1, o distancia del Sol al borde de la elipse (color verde claro) y la distancia del Sol al centro de la elipse o de la trayectoria descrita, c, .

Actividades: hacer pruebas variando los valores de los semiejes, lo que permitirá comprobar:

b) Se obtienen resultados análogos desplazando a o b. Por este motivo y para las escenas siguientes, sólo vamos a considerar la variación de la forma de la elipse a lo largo del eje OX. 

 c) Lo fácil que resultan considerar circulares las órbitas de los planetas, cuando en realidad son elípticas: compruébese utilizando la excentricidad, el zoom y los desplazamientos sobre los ejes.

Esteban Durán Ruiz

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009