CÁLCULO DIFERENCIAL: Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio

1.-     CONCEPTOS PREVIOS

ž         La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto.

ž         La ecuación de la recta tangente a  una función en el punto  A( a , f ( a ) )  viene dada por la expresión:   y – f ( a ) = f ’ ( a ) [ x – a ]

ž         Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente.

ž         Si en un punto de la gráfica de una función se produce un cambio brusco de dirección ( “un pico” o “punto anguloso”), la función no es derivable en dicho punto.

 

2.-     TEOREMA DE ROLLE

            Si  f  es una función continua en  [ a , b ], derivable en  ( a , b )  y además  f ( a ) = f ( b ), entonces existe al menos un punto  c ( a , b )  en el que  f ’ ( c ) = 0.

          2.1     Interpretación geométrica

          Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al eje de abscisas (es decir, es la recta  y = f ( c ) ).

2.2     Actividades:

a)    Dibuja en tu cuaderno un esbozo de la gráfica  de  la  función   f ( x ) = x7 – 3x6 + 2 sen (px / 2)  en  el  intervalo  [ 0 , 1 ] . (Con la ayuda de una calculadora calcula las imágenes de los puntos:  0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4,..., 0.9,  y 1).

b)    ┐Verifica la función  f ( x )   las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo  [ 0 , 1 ]?  En caso afirmativo, calcula, aproximando hasta las centésimas, el valor del punto  “c”  cuya existencia garantiza dicho teorema. (Ayuda: con la ayuda de una tabla de valores, representa la función derivada de f ( x ) en dicho intervalo. ┐En qué valor  f ’ ( x ) = 0?)

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3.-     TEOREMA DEL VALOR MEDIO ( TEOREMA DE LAGRANGE)

            Si  f  es una función continua en  [ a , b ]  y  derivable en  ( a , b ), entonces existe al menos un punto  c(a,b)  en el que  f ’ (c) = [ f ( b ) – f ( a ) ] / ( b – a ).

          3.1     Interpretación geométrica

          Si se cumplen las hipótesis del teorema, existe al menos un punto  c ( a , b )  en el que su recta tangente es paralela al segmento determinado por los puntos  A( a , f ( a ) )  y  B( b , f ( b ) )

3.2     Actividades:

a)    Representa en tu cuaderno la gráfica  de  la  función   f ( x ) = x3 – x2 + 2   en  el  intervalo  [ -1 , 1 ] .

b)    ┐Verifica la función  f ( x )  el teorema del Valor Medio del cálculo diferencial en dicho intervalo. En caso afirmativo, calcula, aproximando hasta las centésimas, el valor del punto  “c”  cuya existencia garantiza dicho teorema.

 

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4.-     TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO (TEOREMA DE CAUCHY)

            Si  f  y  g  son dos funciones continuas en  [ a , b ]  y  derivables en   ( a , b ),   entonces  existe  al  menos  un   punto  c ( a , b )  en el que se verifica:   f ’ ( c ) [ g ( b ) – g ( a ) ] = g ’ ( c ) [ f ( b ) – f ( a ) ].

          Es inmediato comprobar que el teorema del valor medio es un caso particular del teorema del valor medio generalizado. Para ello, basta tomar la función  g ( x ) = x.

4.1     Actividades:

a)    Dibuja en tu cuaderno las  gráficas  de  las  funciones   f ( x ) = sen ( x )    y    g ( x ) = cos ( x )   en  el  intervalo   [ 0 , p ].

b)    ┐Verifican dichas funciones las hipótesis del teorema del Valor Medio generalizado en ese intervalo? En caso afirmativo, calcula, aproximando hasta las milésimas, el valor del punto “c”, cuya existencia garantiza el citado teorema.

 

 

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Alfredo Pena Iglesias.  Curso Descartes,  septiembre - 2002

 

 

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