REPRESENTACIÓN DE RECTAS
Geometría
 

1. UN PUNTO Y UN VECTOR DETERMINAN UNA RECTA EN EL ESPACIO 
Dados un punto P y un vector no nulo u la recta que determinan es el conjunto de puntos X que se obtienen mediante la relación cuando l recorre los números reales. También decimos que la recta está formada por los puntos que verifican la relación anterior. Si consideramos las coordenadas  de los vectores la ecuación queda:
Puedes usar el ratón arrastrando para girar . Para acercar y alejar botón dcho.

1.-Modifica con los controles las coordenadas del punto P y las del vector u y observa la nueva recta que aparece. Si se oculta algún elemento gira la escena con el ratón para mejorar el punto de vista.

 La recta está en negro. El punto P es el punto grueso por el que pasa la recta. Del vector libre u, que nos indica la dirección, hemos puesto dos representantes, el que parte del origen y el que parte de P.

2. PUNTOS EN LA RECTA
Para comprender mejor la ecuación de la recta conviene estudiar con detenimiento la siguiente escena. Aunque la recta aparece dibujada en negro, se trata de observar que cuando mantenemos fijo el punto P y el vector u y damos distintos valores a l, nos aparecen nuevos puntos de la recta. La sensación visual es que el punto recorre la recta. En realidad la recta es el conjunto de esos puntos.
Modificando adecuadamente las coordenadas de P o las de u podemos cambiar de recta.
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Debes usar el ratón para girar y botón dcho para acercar o alejar. El control Incr afecta a la variación de las coordenadas de u.

2.-Haz que el punto recorra la recta en un sentido y en otro pulsando repetidamente en las flechas del control Lambda (valores positivos y negativos). Observa que se siempre se cumple la relación entre los vectores que figuran en la ecuación de la recta. El vector lu es el de color naranja

Pulsa el botón Inicio cuando quieras recuperar la posición de partida.

3.-Cuando el vector u tiene dos coordenadas iguales a 0 ┐Qué posición tiene la recta respecto a los planos de coordenadas?. ┐Y respecto a los ejes?. Prueba los valores (0,0,1), (0,1,0), (2,0,0).
4.-Si sólo cambias el vector u de (0,0,1) a (0,0,2) ┐cambia la recta?. ┐Por qué?.
5.-Observa las posiciones de la recta cuando u es (0,1,2), (1,1,0), (2,0,1). ┐Qué determina en la posición el que una de las coordenadas sea 0?.
6.-┐Qué ocurre cuando el vector u tiene todas las coordenadas 0?
7.-┐Puede ocurrir que modifiques el punto P y que el nuevo punto P y el vector u determinen la misma recta?

3. OTRAS ECUACIONES DE LA RECTA. RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS
Desdoblando la ecuación vectorial en coordenadas anterior obtenemos las ecuaciones paramétricas

Despejando l en cada una de ellas e igualando obtenemos la forma continua

Si se conocen dos puntos P y Q, la recta queda perfectamente determinada porque el vector con origen en P y extremo en Q nos vale como vector u director de la recta. Las ecuaciones paramétricas serían en este caso:

Las flechas de los controles hacen que las coordenadas aumenten y disminuyan de unidad en unidad, pero podemos escribir cualquier valor directamente y pulsar intro.

8.-Modifica las coordenadas para que la recta adopte posiciones especiales respecto a los planos de la escena: quede perpendicular a un plano; esté contenida en él; sólo corte a dos planos; que esté contenida en uno y corte a los otros dos; etc.

Los valores de cada coordenada varían entre -4 y 4; esto no supone gran limitación conceptual y hace la escena más manejable.

9.- Escribe las ecuaciones paramétricas y la forma continua de cada uno de los ejemplos del ejercicio anterior. Observa que en la propia escena se calculan las coordenadas del vector director.

       
           
  Jesús Fernández Martín de los Santos
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
 
 

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