En esta escena dividiremos un segmento en proporción áurea.  Un segmento AB está dividido en proporción áurea, en media o extrema razón cuando la relación entre la parte mayor AC con la menor CB es igual a la relación del segmento original AB con la parte mayor AC, es decir :

Johann Kepler (1571-1630) resalta la importancia en el campo de la Geometría de esta proporción :

La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro es la división de un segmento en una proporción extrema y media. Podemos comparar el primero a una medida de oro; al segundo lo podemos llamar una joya preciosa (trabajo publicado en 1596).

1.-Mueve el control numérico "pasos" y anota en tu cuaderno lo que se va  haciendo en la escena:

• Se traza el segmento AB.

• Por el punto B se traza la perpendicular a AB.
• Sobre esta perpendicular y a distancia AB/2 de B se sitúa el punto D y se traza la hipotenusa del triángulo rectángulo ABD.
• Con el compás, con una abertura BD y centro en D, se traza sobre la hipotenusa el punto E.
• Con el compás, con una abertura AE y centro en A, se traza sobre el segmento AB el punto C.
• AB y AC son respectivamente la parte mayor y la parte menor de la división del segmento en proporción áurea.

2.-Demuestra que utilizando esta construcción el segmento AB queda dividido en proporción áurea en dos segmentos AC y BC. Para ello hay que probar que la relación entre los segmentos AC y BC, de medidas a y b respectivamente, es

Ayuda: Aplica el teorema de Pitágoras al triángulo ABD teniendo en cuenta que el cateto  AB mide a+b, el cateto BD mide (a+b)/2 y la hipotenusa mide a+(a+b)/2

3.-Divide un segmento de 8 cm en proporción áurea.

En esta escena vamos a construir un rectángulo conocido el lado mayor a. Da valores al control numérico p para ver el proceso de construcción.

• Por el extremo B del segmento AB levantamos una perpendicular de longitud a/2, BM.
• Trazamos la hipotenusa AM del triángulo rectángulo. 
• Con centro en M y radio a/2 trazamos un arco que corta a la hipotenusa anterior en P.
• El segmento AP es el lado menor, b, del rectángulo.
• Por el extremo A del segmento AB levantamos una perpendicular AD de longitud AP.
• Se construye el rectángulo de lados AB y AD. Observa en la escena cómo el cociente entre el lado mayor y el menor es el número áureo.

2.-Demuestra que con esta construcción obtenemos un rectángulo áureo. Para ello has de comprobar que el cociente entre el lado mayor y el menor es el número de oro.

Ayuda: Observa que la construcción hasta el paso 4 es la misma que se hizo en la escena anterior para dividir un segmento en proporción áurea.  AP es la parte mayor de la división áurea del segmento AB. Se cumple por tanto que :

3.-Construye en tu cuaderno un rectángulo áureo  cuyo lado mayor  mida 6 cm. Comprueba el rectángulo solución en la escena.

• Se dibuja un cuadrado de lado igual al  lado menor b.
• Por el punto medio E de uno de sus lados, con abertura la distancia de ese punto a un vértice opuesto, se traza un arco de circunferencia.
• El arco corta a la prolongación del lado en el que hemos hecho centro en un punto B. La longitud del segmento AB es la medida del lado mayor del rectángulo.
• Se construye el rectángulo ABCD.
• Se rellena el rectángulo para que veas los resultados de manera más clara.

2.-Demuestra que con esta construcción obtenemos un rectángulo áureo. Para ello has de comprobar que el cociente entre el lado mayor y el menor es el número de oro.

Ayuda: En este caso si divides el lado mayor que es AE+ EB por el lado menor obtienes directamente el número áureo. Tienes que tener en cuenta que el número áureo tiene la siguiente expresión.

3.-Construye en tu cuaderno un  rectángulo áureo cuyo lado menor mida 6 cm. Comprueba  el rectángulo solución en la  escena.