Programación Lineal(2)

 No siempre los recintos están acotados (puede ocurrir incluso que no existan). Vamos a ver un ejemplo de un recinto no acotado y cómo se comporta una función objetivo f(x,y) en dicho recinto. En la escena siguiente tienes representado un recinto no acotado:

1.-Podrías escribir en tu cuaderno el sistema de inecuaciones que da lugar a este recinto. Calcula las coordenadas de sus vértices.

2.-Al inicio de la escena aparece la recta de nivel 2x-y=2; desplazando esta recta obtienes otras rectas de mayor o menor nivel (dependiendo del valor de c); fíjate que la recta de menor nivel que "toca" el recinto es la recta 2x-y=-0.5 que es la recta que pasa por el vértice (0.5,1.5) del recinto, luego este punto es un mínimo para la función. ¿Tiene máximo esta función en el recinto? ¿Podrías escribir en tu libreta el por qué? ¿Sería un máximo el punto (2,0)? ¿ Y el (6,4)? ¿Y el (7,5)?.

3.-Vamos a complicarlo un poco más; la función que pretendemos ahora optimizar es f(x,y)=x-2y (en los botones pon a=1 y b=-2). Desplaza la recta y fíjate en su nivel (valor de c). ¿Tiene mínimo? ¿Cuál es ese punto? ¿Qué valor toma la función en ese punto? Desplaza ahora la recta aumentando el valor de c y "tocando" el recinto. ¿Es el punto (2,0) un máximo? ¿Y el punto (4,1)? ¿Y el punto (6,2)?...¿Sabrías escribir en el cuaderno el conjunto de puntos que maximizan la función en ese recinto? ¿Cuál es ese valor?

Una empresa fabrica agua de colonia de dos tipos A y B. La colonia A lleva un 20% de extracto de rosas, un 10% de alcohol y el resto de agua. La colonia B lleva un 30% de extracto de rosas, un 30% de alcohol y el resto de agua. Se dispone de 1800 l. de extracto de rosas y 1200 l. de alcohol. La empresa vende a 1.2 euros el producto B y a 0.80 euros el producto A. ¿Cuántos litros de cada producto ha de fabricar para que el importe de la venta sea máximo?

Debemos traducir a lenguaje algebraico el enunciado. Seguimos los siguientes pasos:

1.-Llamamos x a los litros de colonia de tipo A a fabricar e y a los litros de tipo B 

2.-Construimos una tabla resumen del enunciado parecida a esta:

3.-Sacamos conclusiones en términos de función objetivo y restricciones:

El objetivo es que el importe de la venta sea máximo, es decir f(x,y)=0.8x+1.2y es la función a maximizar, sujeta a las siguientes restricciones:

0.2x+0.3y<=1800;  0.1x+0.3y<=1200;  x>=0;  y>=0

En la escena que sigue se ha representado el recinto a que da lugar las restricciones y la recta de nivel asociada a la función para el valor de c=-1200, desplazando esta recta, cambia a color azul cuando toca el recinto:

1.-Indica un punto que maximice la función. ¿Puede ser el (6000,2000)? ¿Cuál es el valor de c en este punto? ¿Qué nos indica este valor?

2.-¿Hay algún otro punto que maximice la función, p.e. el (9000,0)? ¿Sabrías encontrar algún otro? ¿Serán todos los puntos del segmento que une (6000,2000) con (9000,0)? ¿Cuál es la ecuación de la recta que define el segmento anterior? ¿En qué se diferencia de la recta de nivel 0.8x+1.2y=7200?

2.-¿Cuántos litros de colonia de tipo A y de tipo B se deben elaborar para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es este beneficio máximo?

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José María Mesías Muñiz Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2002

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