PROGRAMACIÓN LINEAL(1)
Ecuación lineal con dos incógnitas o recta |
Una recta puede escribirse de formas distintas, una de ellas es ax+by=c, donde a, b y c son números. En la escena puedes dibujar las rectas que quieras dándole valores a a, b y c. Tienes también los correspondientes valores de la pendiente m y de la ordenada en el origen n. La recta que aparece al pinchar el botón inicio es 2x-y=3.
En tu cuaderno puedes contestar a estas cuestiones:
1.-¿Cual es la pendiente m y la ordenada en el origen n de la recta 2x-y=3.? (Ten en cuenta que la recta puede escribirse de la forma y=mx+n. Tendrás que despejar y en la ecuación 2x-y=3).
2.-¿Qué significado tiene la pendiente de una recta? ¿Cuál es el significado de la ordenada en el origen?
Mantén fijos los valores de a y b (por ejemplo a=2, b=-1) y con el botón c vete modificando sus valores.
3.- ¿Cómo son las rectas que se van dibujando? ¿Varían sus pendientes? ¿Qué es lo que cambia?
4.-¿Sabrías qué ocurre si, fijados valores para a y b, vamos variando el valor de c? Explícalo detalladamente. Para cada valor de c tenemos una recta de "nivel" (nos recuerda a las curvas de nivel de los mapas). Si damos a c un valor superior al dado anteriormente obtendremos una recta de nivel superior a la anterior.
Inecuación lineal con dos incógnitas o semiplano |
Una inecuación lineal con dos incógnitas corresponde a una de las siguientes expresiones:
ax+by<c; ax+by>c; ax+by<=c; ax+by>=c.
El conjunto de soluciones, o conjunto de puntos (x,y) que cumplen una inecuación es uno de los semiplanos determinados por la recta ax+by=c. En el caso de inecuaciones con <= o >=, los puntos de la recta ax+by=c son también soluciones de la inecuación.
En la siguiente escena puedes, arrastrando el punto P o pulsando los botones x e y, comprobar que es así ( Al pinchar en el botón inicio aparece la recta 2x-y=3 que divide al plano en dos semiplanos, desplazando el punto P verás el resultado de la sustitución, siendo válidos aquellos que al sustituirlos en la inecuación la satisfagan).Puedes, en esta escena, resolver la inecuación que quieras teniendo en cuenta dos cosas:
Pinchando los botones a, b y c puedes resolver las inecuaciones que quieras. Hazlo en los siguientes casos y escribe los resultados en tu cuaderno.
1.-Resuelve: 2x-y<3 ( o su equivalente: -2x+y>-3).
2.-Resuelve: x>0
3.-Resuelve: x+y>=1
4.-Resuelve: x+y<1
| Sistema de inecuaciones lineales o recinto. |
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas (en programación lineal se llama conjunto de restricciones) viene representado gráficamente por un conjunto convexo, que es la intersección de las soluciones de cada inecuación. Este conjunto convexo se llama recinto o región factible y puede tener formas y propiedades distintas (abiertos o cerrados, acotados o no acotados). En un recinto hay un conjunto de puntos que van a tener un interés muy especial para nosotros, son los llamados puntos extremos, este conjunto está formado por los lados del recinto y por sus vértices.
En la siguiente escena tienes representada la solución gráfica del sistema:
x+y>=1; x-y>=-1
Fíjate en el recinto solución y contesta a las siguientes preguntas:
1.-¿Es un conjunto convexo (es decir si eliges dos puntos cualesquiera del conjunto, el segmento que los une está todo él contenido en el conjunto)?
2.-¿Cuál o cuáles son sus vértices?
3.-¿Es un conjunto acotado (es decir tiene área finita)?
4.-Dándole otros valores a los parámetros que figuran en la parte inferior de la escena, tendrás representada la solución grafica de sus correspondientes inecuaciones que verás en el extremo superior izquierdo. (Tendrás que esperar un poco a ver el resultado.)
| Recintos y rectas de nivel |
En la siguiente escena verás representado un recinto cerrado (contiene a sus lados) y acotado (área finita), así como sus vértices con las coordenadas respectivas.
1.-Escribe en tu cuaderno el sistema de inecuaciones (conjunto de restricciones) que da lugar a este recinto. Empieza por dar las ecuaciones de las rectas que contienen a sus lados. A continuación establece las inecuaciones que definen cada uno de los semiplanos que te interesen para que su intersección sea el recinto que ves en la gráfica.
Un problema de programación lineal consiste en buscar (si existe) el máximo o mínimo de una función lineal de la forma f(x,y)=ax+by (se llama función objetivo) en ese recinto (con esas restricciones). Por tanto se trata de encontrar un punto del recinto tal que la función f(x,y) tome el valor máximo (si se trata de maximizar) o el valor mínimo (si se trata de minimizar).
En la escena que sigue puedes maximizar o minimizar una función cualquiera f(x,y) sometida a las restricciones definidas por el recinto.
1.- Busca los valores que toma la función f(x,y)=-0.5x+y en cualquier punto del recinto; para hacerlo podemos considerar la función f(x,y)=c que es una recta (en la escena se ha partido de la recta -0.5x+y=-0.5). Al variar el valor de c vamos obteniendo rectas paralelas (rectas de nivel asociadas a la función), para cada valor de c, la función toma ese valor. Al aumentar el valor de c aumenta el de f(x,y). Como me interesa maximizar (minimizar) f(x,y)=-0.5x+y tendré que ir desplazando la recta pintada de azul sobre el recinto sin salirme por completo de él. ¿Sabrías indicar el punto dónde la función toma el valor máximo? ¿Y dónde toma el valor mínimo? ¿Qué valores toma la función en dichos puntos? ¿Qué valor toma la función en (0.5,0.5)? Comprueba con otros puntos del recinto los valores que toma en ellos la función.
2.-Tienes ahora que minimizar la función f(x,y)=x+2y, para ello puedes partir de la recta de nivel x+2y=-1 que es la que ves en la escena, una vez ajustas el valor de a=1 y el de b=2 (en los pulsadores a y b), aumentado el valor de c (arrastrando con el punto P la recta) se obtiene el mínimo en el punto (0,0) y este mínimo es 0 (f(x,y)=0=c). Mira ahora el valor que toma la función en cualquier otro punto del recinto y comprueba que es mayor que en el punto (0,0).
3.-Ya puestos con la función f(x,y)=x+2y, lo que pretendemos en este apartado es maximizarla; puedes partir de la recta de nivel anterior y desplazarla arrastrándola del punto P, o más finamente pinchando en los botones x e y. ¿Es el punto C(0,1) un máximo? ¿Es el punto B(4/3,2/3) un máximo? ¿Es el punto (1/2, 1/4) un máximo? ¿Sería un máximo cualquier punto del segmento BC? ¿Cuántos máximos tiene esta función? ¿Cuál es la pendiente de todas las rectas de nivel asociadas a la función f(x,y)? ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene al lado BC? Así que en el recinto de la escena, podrás ahora contestar en tu cuaderno a las siguientes preguntas:
a) ¿Una función cualquiera tendrá siempre un máximo o un mínimo en dicho recinto? ¿Sabrías indicar dónde estará situado el punto o puntos?
b)¿Cómo deberá ser la función f(x,y) para que tenga infinitas soluciones si la queremos maximizar?. ¿Y si la queremos minimizar?
c) ¿Existirá alguna función en dos variables que no tenga ni máximo ni mínimo en el recinto?
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