ORTOCENTRO Y CIRCUNCENTRO

Bloque: Geometría

EL ORTOCENTRO

El ortocentro de un triángulo es el punto donde se cortan sus alturas. El ortocentro puede estar dentro o fuera del triángulo. Si está dentro, ¿qué tipo de triángulo es? Si está fuera, el triángulo es ... También puede coincidir con un vértice, si esto ocurre, el triángulo es ... Si no se saben las respuestas a estas tres preguntas, seguro que manipulando la escena se encontrarán fácilmente.

Un clásico problema de Geometría Analítica es calcular las coordenadas del ortocentro sabiendo las coordenadas de los vértices. Una primera forma de encarar el problema es hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares a los lados y que pasen por los correspondientes vértices opuestos, y resolver el sistema formado por las dos ecuaciones.

Veamos otra forma de calcularlo, llamemos H al ortocentro. Si observamos la escena, vemos que el vector OH es la suma de los vectores OA y AH (OH=OA+AH). Si calculamos AH, el problema está resuelto.

Supongamos que n es un vector perpendicular a BC, entonces AH=t·n. Unos sencillos cálculos nos darán el valor de t.

CH=CA+AH=CA+t·n

CH es perpendicular a AB, o sea, CH·AB=0

luego, CH·AB=(CA+t·n)·AB=CA·AB+t·(n·AB)=0

despejando, t=-(CA·AB)/(n·AB)

Ya tenemos t, luego ya tenemos AH si tenemos n; pero en el plano euclídeo es fácil obtener un vector perpendicular a otro dado: basta intercambiar las coordenadas y cambiar de signo una de ellas.

Pongamos todo esto en una escena y resolvamos con ella el problema de hallar las coordenadas del ortocentro del triángulo de vértices A(1; 2), B(2; -1), C(-3; -2).

Salvador Calvo-Fernández Pérez

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006