ORTOCENTRO Y CIRCUNCENTRO

Bloque: Geometría

EL CIRCUNCENTRO

El circuncentro de un triángulo es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados. Dicho punto equidista de los vértices y, por lo tanto, es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. Una pregunta, ¿dónde se encuentra el circuncentro si el triángulo es rectángulo?

Nuestro problema es hallar las coordenadas del circuncentro si se conocen las coordenadas de los vértices. Una vez hallado el circuncentro, el radio de la circunferencia circunscrita se calcula hallando la distancia entre el circuncentro y uno de los vértices.

Para calcular el circuncentro, K, a partir de las coordenadas de los vértices, en vez de hallar dos mediatrices y resolver el sistema de ecuaciones correspondiente, utilizaremos otro método que la escena que sigue explica.

En resumen:

1. Hallamos los puntos medios M, N, P.
2. Calculamos el ortocentro del triángulo MNP.
3. El punto calculado anteriormente es el circuncentro de ABC.

Como los triángulos ABC y MNP son semejantes y la razón de semejanza es 2, se tiene que la distancia de M a K (K es el ortocentro de MNP) es la mitad que la distancia de A a H, siendo H el ortocentro de ABC

La próxima escena utilizará la observación anterior, el valor del vector AH calculado en la página del ortocentro y la fórmula del punto medio de un segmento para mostrar otra forma de calcular las coordenadas del circuncentro:

Resolvamos el problema para el triángulo de vértices A(1; 2), B(2; -1), C(-3; -2).

Salvador Calvo-Fernández Pérez

Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2006