Trátase agora dun problema e dunha concepción distinta dos métodos anteriores. Se temos unha función f(x) da que coñecenos o valor nun punto f(a) pero non noutros próximos a x=a, podemos sustituír f(x) por un polinomio T(x) que coincida con f en x=a, é dicir f(a)=T(a) e ademais P(x) cúrvase igual que f(x) en x=a ata certo grao n. Isto ven determinado pola coincidencia das derivadas da función e o polinomio en x=a. P(x) será entón un polinomio tal que:

f(a)=T(a) ; f´(a)=T´(a) ; f"(a)=T"(a) ; .f'''(a)=T'''(a) ; ... ; fⁿ⁾(a)=Tⁿ⁾(a) . Este polinomio T(x) chámase polinomio de Taylor de grao n para f no punto a, será:

T(x)= f(a)+f´(a)·(x-a)+[f"(a)/2!]·(x-a)²+[f'''(a)/3!]·(x-a)³+ ... +[fⁿ⁾(a)/n!]·(x-a)ⁿ .

Este é o único polinomio de grao n que cumpre as condicións esixidas. As diferencias entre f e T nun punto x=b [f(b)-T(b)] decrecen co grao de T e coa proximidade de b a a, son menores que o resto R(b)=[(b-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!]·fⁿ⁺¹⁾(x) sendo x un valor do intervalo (a,b).

1.- Aproxima o valor do número e, mediante o polinomio de Taylor de grao 5 aplicado á función f(x)=e^x [f(1)=e]. (Podes comprobar o resultado coa escena)

2.- Aproxima o valor do sen 30º (30º=p/6 radiáns), mediante o polinomio de Taylor de grao 5 aplicado á función f(x)=sen x .(Podes comprobar o resultado coa escena)

3.- Aproxima o valor da raíz cadrada de 2, mediante o polinomio de Taylor de grao 5 aplicado á función raíz cadrada no punto x=1. Cal é o erro relativo?. (Podes comprobar o resultado coa escena)