APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS
2º Bachillerato Ciencias Sociales
 
3.- CÁLCULO DEL ÁREA LIMITADA POR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN Y EL EJE X
En el punto anterior hemos visto el signo de la integral, por tanto si lo que se quiere es calcular el área se procederá así:
1. Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b] , el área =
2. Si  f(x)<0  en el intervalo [a,b] , el área =||
3. Si  f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , el intervalo se parte en dos (o más) mitades: [a,c] donde f(x)>0 y [c,b] donde f(x)<0 .Como la integral definida entre a, b es igual a la suma de la integral definida entre a, c más la integral definida entre c,  b ; el área es la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje X, cambiando de signo esta última que es negativa.
Según lo anterior para calcular el área comprendida entre una curva y = f(x) y el eje OX y las rectas x=a, x=b  se procede así:
1. Se resuelve la ecuación f(x)=0 para averiguar los puntos de corte de la curva con el eje OX.
2. Se ordenan de menor a mayor las soluciones que están en el intervalo [a,b] . Supongamos que son a<x1<x2<x3<b.
3. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=ò f(x)dx.
4. Se calculan G(a), G(x1), G(x2), G(x3), G(b).
5. Las áreas de los recintos son los valores absolutos de las diferencias G(a)-G(x1), G(x2)-G(x1), G(x3)-G(x2), G(b)-G(x3).
6. El área pedida es la suma de las áreas de los recintos.
En esta escena vamos a calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = x3-5x2+6x y el eje X y las rectas x=-1, x=4. Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso.
Modificando  los pulsadores f3,  f2,  f1,  f0,  a,  b se puede calcular el área limitada por la gráfica de la función y = f(x) = f3x3+f2x2+f1x+f0 y el eje X y las rectas x=a, x=b.
Anota en tu cuaderno:

1) Cambia el valor de Paso = 1 para ver el área pedida. 

2) Resuelve la ecuación f(x) = 0.

3) Ordena de menor a mayor las soluciones obtenidas comprendidas entre ay b. (Paso = 2).

4) Calcula una primitiva  G(x) de f(x) (Paso = 3).

5) Calcula el valor de G(x) en cada una de las soluciones de f(x) = 0. (Paso = 4).

6) El área pedida es la suma de las áreas de cada recinto. Y la de estos el valor absoluto de las diferencias de G(x). (Paso = 5).

7) Modifica los valores a y  b, según los valores de la tabla, y calcula en tu cuaderno el área. (Observa como va afectando al número de recintos y a la expresión de I)
a
1
2.5
3.5
0
2
3
0
0
2
b
4
4
4
4
4
4
2
3
3

8) Modificando los valores de f3, f2, f1, f0, a, b y repitiendo los pasos anteriores calcula en tu cuaderno el área limitada por la gráfica de la función   f(x) = x3-4x2+3x y el eje X
4.- CÁLCULO DEL ÁREA LIMITADA POR LA GRÁFICA DE DOS FUNCIONES. 
Para calcular el área comprendida entre la gráfica de dos funciones y = f(x),  y = g(x) se procede así
1. Calculamos la función diferencia y = (f-g)(x).
2. El área comprendida entre la gráfica de dos funciones y = f(x),  y = g(x) es igual al área  comprendida entre la función diferencia  y = (f-g)(x) y el eje OX. 
3. Procedemos igual que en el apartado anterior.
En esta escena calcularemos el área limitada por las gráficas de las funciones y = f(x) = 4-x2, y = g(x) = x+2 . Para ir viendo los distintos pasos hay que ir modificando el pulsador de Paso.
Anota en tu cuaderno:

1) Cambia el valor de Paso = 1 para ver el área pedida. 

2) Resuelve la ecuación f(x)-g(x) = 0.

3) Ordena de menor a mayor las soluciones obtenidas. (Paso = 2).

4) Calcula una primitiva  G(x) de f(x)-g(x) (Paso = 3).

5) Calcula el valor de G(x) en cada una de las soluciones de f(x)-g(x) = 0. (Paso = 4).

6) El área pedida es la suma de las áreas de cada recinto. Y la de estos el valor absoluto de las diferencias de G(x). (Paso = 5).

7) Repitiendo los pasos anteriores calcula en tu cuaderno el área limitada por las gráficas de las funciones f(x) = x2+x-2 y g(x) = 2x
  ÍNDICE   INTEGRAL 1    
           
  Mª Dolores Chávez Gordito
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003