APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS
2º Bachillerato Ciencias Sociales
1.- LA INTEGRAL DEFINIDA. REGLA DE BARROW.

Para hallar la integral definida, se procede así:

1. Se halla una primitiva de la función f(x): G(x)=ò f(x)dx.
2. Se calculan los valores G(b) y G(a).
3. La integral buscada es = G(b)-G(a)

Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b]  , lacoincide con el área del recinto limitado por la gráfica de f(x) y el eje X en el intervalo [a,b].
En esta escena puedes ver representada la función y = f(x) = x2-2x+2 cambiando los valores de los límites de integración a, b (modificando con los pulsadores o introduciendo el valor directamente) se obtiene el valor de la Integral definida aplicando la regla de Barrow.
Anota en tu cuaderno:

1) Calcula una primitiva  G(x) de f(x) = x2-2x+2.

2) Calcula G(b) y G(a)

3) Calcula la integral  I = G(b) -G(a)
y comprueba el resultado con el que aparece en la escena.

4) Este resultado coincide con el valor del área del recinto coloreado de verde.

5) Modifica los valores de a, b y repite los pasos anteriores.

6) ¿Cuánto vale la integral si a=b?. 

7) Coge un valor c entre a, b y  por ejemplo a=1 , c=2,  b=3 calcula la integral definida entre a, c , la integral definida entre  c,  b y la integral definida entre a, b .¿Qué relación existe entre ellas?
 
2.- EL SIGNO DE LA INTEGRAL

Para hallar el signo de la integral , realiza los ejercicios que se proponen en la siguiente escena.
Se pueden deducir las siguientes propiedades:

1. Si  f(x)>0  en el intervalo [a,b] , la integral >0
2. Si  f(x)<0  en el intervalo [a,b] , la integral <0
3. Si  f(x) cambia de signo en el intervalo [a,b] , la integral  nos da la suma algebraica de las áreas que están por encima y por debajo del eje X, cada un con su signo.
En esta escena puedes ver representada la función y = f(x) = x2-1 cambiando los valores de los límites de integración a, b  vamos a ver el signo de la integral definida.
Anota en tu cuaderno:

1) Aplicando la Regla de Barrow calcula la integral de   f(x) = x2-1 entre a=1, b=2

2) ¿Qué signo tiene la integral?

3) Calcula, modificando los valores de a,b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1 , b=1

4) ¿Qué signo tiene  ahora la integral?

5) Calcula, modificando los valores de a,b la integral de f(x) = x2-1 entre a=-1 , b=2.

6) ¿Cuánto vale la integral ?. 

7) Intenta encontrar una relación entre el signo de la función f(x) y el signo de la integral.
 
Mª Dolores Chávez Gordito
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003