ÉPOCA JÓNICA 
Historia  
 

1. PITÁGORAS DE SAMOS

 

 

 

Pitágoras de Samos (580-500 aC): Es un personaje aún más misterioso que Thales. Vivió unos 50 años después de éste y, en su juventud, viajó por Egipto, Babilonia y posiblemente la India, países en los que adquirió su formación matemática y filosófica. Contemporáneo de Buda, Confucio y Lao Tse, estuvo muy influido por el misticismo religioso. Se dice que era vegetariano ya que creía en la trasmigración de las almas. Se estableció en Crotona, al sudeste de Italia,  entonces parte de Grecia, donde fundó una secta secreta, los pitagóricos, que contribuyeron en el mundo heleno a la difusión y desarrollo de las matemáticas.  La primera referencia escrita vuelve a aparecer en la obra de Proclo (410-485dC) "Comentario sobre el primer libro de los Elementos de Euclides". Inmediatamente después de escribir sobre Thales, Proclo escribe: "transformó esta ciencia en una forma de educación liberal, examinando sus principios desde el comienzo y demostrando los teoremas de una manera inmaterial e intelectual. Así descubrió la teoría de las proporciones y la construcción de las figuras cósmicas". Fueron los pitagóricos los primeros que se dedicaron al estudio, movidos por el amor a la sabiduría y la belleza y no por cuestiones de tipo práctico. Parece que es difícil separar la historia y la leyenda en lo que se refiere a Pitágoras, pero sí está clara la influencia de su escuela en el desarrollo de la matemática griega. Veamos algunos aspectos relevantes:                            
2. TEOREMA DE PITÁGORAS 
Utilizaban para la obtención de ternas pitagóricas las expresiones pero éstas ya eran conocidas por los babilónicos.

Se les atribuye la demostración del teorema de Pitágoras, conocido también por los babilónicos, pero no existe una prueba clara de esto. Aquí vas a ver una demostración que utiliza la semejanza de triángulos y la proporcionalidad de segmentos.

La altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide a la hipotenusa 

1.- Al trazar la altura en la figura se han formado dos triángulos rectángulos semejantes. Los llamaremos  mbh  y nhc. Observa que tienen los ángulos iguales y, por tanto, sus lados correspondientes son proporcionales.

            
Si quieres manipular la escena pulsa sobre ella el botón derecho del ratón y aparecerá un menú que te permite hacer un zoom y centrar la imagen

En el triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos 
2.-El triángulo de lados a, b y c es rectángulo. Realmente hay tres triángulos rectángulos semejantes pues a es un diámetro y por tanto el ángulo que forman b y c es también recto. Los llamaremos mbh, nhc y abc,
a/b=b/m; am=bpor semejanza de abc y mbh    (1)

 a/c=c/n ;an=c2 por semejanza de abc y nhc      (2)

b2+c2=am+an= a(m+n)=aa=a2 por (1) y (2). Por tanto

       a2 = b2 + c2
Si quieres manipular la escena pulsa sobre ella el botón derecho del ratón y aparecerá un menú que te permite cambiar el tamaño de m

3. LA ESTRELLA DE CINCO PUNTAS 
Aunque Proclo les atribuye la construcción de los cinco poliedros regulares, es muy probable que sólo conocieran tres, cubo, octaedro y dodecaedro. Una piedra hallada en Padua fechada en el período etrusco (500 aC) tiene forma de dodecaedro con sus caras pentagonales.  Parece ser que la estrella de cinco puntas  construida a partir de un pentágono regular era el símbolo de los miembros de la secta. Estudiando las propiedades de los segmentos de esta estrella podemos encontrar la llamada sección áurea.
En la animación puedes ver la construcción de la estrella de cinco puntas a partir de las diagonales del pentágono.
Utiliza el zoom o mueve los ejes OX y OY cuando lo necesites.

4. SECCIÓN ÁUREA
Halla el punto H del segmento BC que divide al segmento en dos, BH y HC,  tales que  BH es media proporcional de BC y HC. A la razón de semejanza se le llama fi y es un número irracional
 
Se trata de dividir el segmento BC en dos que estén en proporción áurea. Hay que encontrar el punto H que cumple la condición
    
Elige el tamaño del segmento y ajusta los ejes y el zoom para ver bien la construcción. Puedes elegir el número de decimales para fi que es el NÚMERO ÁUREO
Pincha sobre la escena con el botón derecho del ratón, después anima la escena y verás cómo puedes encontrarlo

       
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001