GEOMETRÍA MÉTRICA
Geometría
 

3.3 ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO
El ángulo entre una recta y un plano r y π es el ángulo complementario del menor de los posibles ángulos que forman un vector director de r con uno característico de π. Se expresará (r,π), y está comprendido entre 0 y π/2.
 

En esta escena están representados una recta y un plano, un vector director de ella y un vector característico de él. Estos vectores se trasladan paralelamente para que tengan origen común y observar mejor el ángulo que forman. Se ve mejor aún si mueves la escena para ver el plano como recta. Cuidado: el ángulo entre la recta y el plano es el complementario del que forman los vectores.

Si el ángulo que forman una recta y un plano es α (entre 0 y π/2), el vector director de la recta y el vector característico del plano formarán un ángulo de π/2−α o π/2+α.

Como cos(π/2−α)=−cos(π/2+α)=senα,

Si v=(a,b,c) y n=(A,B,C), entonces

En particular (y con v y n no nulos porque sino no dan una dirección):

  • r y π son paralelos vn=0

  • r y π son perpendiculares v y n son proporcionales

En esta escena están representados un plano, una recta y dos vectores v y n. Estos se modifican en la parte superior hasta conseguir un vector director de la recta y uno característico del plano. En la parte inferior aparecen las coordenadas del origen común de los dos vectores y debe ser el punto de corte de la recta con el plano.

A16.-El plano y la recta representados son:

Busca el punto de corte de la recta y el plano, y sitúa en él un vector director de la recta y un vector característico del plano.

Qué ángulo forman la recta y el plano? (Si tu respuesta anterior es correcta verás la solución en la escena)

Comprueba que el ángulo es el mismo eligiendo otros vectores característicos de cada plano. Observa también que para hallar el ángulo sólo se necesitan los vectores, no se necesitan puntos.

E11.-Halla la ecuación del plano perpendicular a la recta dada que pase por el origen.                             

E12.-Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,−2,3) y es perpendicular al plano dado.       


       
           
  Juan Simón Santamaría
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
 
 

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