TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
Análisis: Función derivada
 
1.- CONCEPTO

 

Continuamos con el ejemplo anterior. Una bola es lanzada desde el suelo verticalmente y hacia arriba. La función altura-tiempo es y=f(t)=50t - 5t2

Recordemos que podíamos calcular la altura en cualquier instante pero no podíamos tener información precisa de como está variando la altura en un instante determinado, por ejemplo, en t0=2 segundos. Este dato se denomina variación instantánea.

Para obtener esta información vamos a estudiar cómo varía la altura en intervalos que empiezan en t0=2 y tiene amplitudes h cada vez más pequeños. Es decir calculemos las tasas de variación media en los intervalos sucesivos [t0,t0+h] tal que h tienda a 0.

Consideremos el intervalo [2,5] con una anchura h=3 segundos 

Pasemos al intervalo [2,4] con una anchura h=2

Siguiendo esta sucesión podemos considerar una anchura arbitrariamente pequeña, p.e. h=0.05 segundos ¡ 5 centésimas de segundo !. Con lo que la tasa TVM en este intervalo medirá casi la variación instantánea en t0=2 segundos.

La sucesión de las TVM tiene como límite la variación instantánea en t0=2 segundos cuyo valor es

f ' (2) = 30 m/s

Para conocer la variación instantánea en t0=2 segundos tenemos que calcular la variación media (TVM) correspondiente a un intervalo [2,2+h], tendiendo h a cero.

Has podido observar en la gráfica que las distintas tasas de variación media son las pendientes de la recta secante a la curva por los puntos P(2,f(2)), Q(2+h,f(2+h)) y que cuando h tiende a cero el punto Q se desplaza sobre la gráfica hasta confundirse con el punto P a la vez que las sucesivas rectas secantes por P y Q tienden hacia la recta tangente a la gráfica en el punto P.

 

Geométricamente, la TVM es la pendiente de la secante por P y Q y por tanto la variación instantánea en P será como caso límite la pendiente de la recta tangente en P.

La variación instantánea en t=2 se representa por f ' (2) y se conoce como la derivada de la función f(t) en t=2

La expresión analítica de la derivada en el punto t=2 

Viene dada por el valor del siguiente límite:
2.Derivada de una función en un punto

 

Dada una función y=f(x) y un punto de abcisa x=a, se define la derivada de f(x) en x=a y se designa f '(a), como el límite siguiente, si es que existe,

Si expresamos el valor variable a+h = x, tenemos que h= x-a de tal manera que cuando h®0 se cumplirá que x®a.

La derivada en x=a también puede ser expresada de la siguiente manera

y representa desde le punto de vista geométrico la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y = f(x) en el punto de abcisa x=a

3. Ecuación de la recta tangente

Si una recta tiene un ángulo de inclinación a decimos que su pendiente es m = tg(a).

La forma explicita de la ecuación de una recta es y = mx + n. Si (x0,y0) es un punto de dicha recta se cumplirá y0=mx0+n y restando estas dos expresiones se obtiene y-y0=m(x-x0) es decir

y=m(x-x0)+y0

Sea y=f(x) una cierta función que admita una recta tangente en el punto P(a, f(a)). Este punto también pertenecerá a la recta tangente a la curva y=f(x) y la pendiente de la recta es m = f '(a).

Es decir tenemos un punto de la recta x0=a, y0=f(a) y conocemos su pendiente, luego la ecuación de la recta tangente a y=f(x) en x=a es

y=f '(a)(x-a)+f(a)

EXPERIMENTA

1.- En el ejemplo de la escena anterior, calcula las siguientes derivadas:

f ' (-2), f ' (-1), f ' (0), f '(2.5).

Anota los resultados en tu cuaderno

2.- Comprueba que en los puntos donde la función crece la derivada es positiva, en los puntos donde la función decrece la derivada es negativa.

3.- ¿Dónde el crecimiento es mas rápido  en x= -2 ó en x = -1.5?

¿Dónde  es más lento el decrecimiento en x=0.5 ó en x=1.5?

4.- ¿Qué debe de ocurrir en los puntos donde hay un máximo o un mínimo local?

5.- Observa la recta tangente en distintos puntos y comprueba que la ecuación de la recta es la que hemos deducido anteriormente.
4. Relación entre el crecimiento de una función en un punto y el valor de su derivada

Recuerda que en la unidad didáctica que hace referencia al estudio del crecimiento de una función se decía

Función creciente en x=a. 

Se dice que y = f(x) es creciente en un punto x=a de su dominio si existe un entorno de dicho punto,  (a-h,a+h) tal que si x pertenece a este entorno y x £ a entonces f(x) £ f(a) y si x ³ a entonces f(x) ³ f(a). 

Por tanto resulta que en ambas situaciones el signo de (x-a) es igual al signo de f(x) - f(a), para cualquier x perteneciente al entorno de a; consecuentemente la tasa de variación media TVA[a,x] es positiva y su límite cuando x ® a también, es decir f ' (a) > 0. Recíprocamente también es cierto que si f ' (a) >0 entonces TVM[a,x] > 0 y la función es creciente en x =a.

f (x) es creciente en x=a equivale a f ' (a) > 0

Función decreciente en x=a

Se dice que y = f(x) es decreciente en un punto x=a de su dominio si existe un entorno de dicho punto, (a-h,a+h) tal que si x está en este entorno y x£a entonces f(x) ³ f(a) y si x ³ a entonces f(x) £ f(a).

En ambas situaciones se cumple que el signo de (x-a) es distinto que el signo de f(x)-f(a), para cualquier x perteneciente al entorno de a; consecuentemente la tasa de variación media TVA[a,x] es negativa y su límite cuando x ® a también, es decir f ' (a) < 0. La proposición recíproca es también cierta, si f ' (a) > 0 entonces la función es decreciente en x=a.

f(x) es decreciente en x=a equivale a f ' (a) < 0
5. Cálculo de derivadas

Sea la función y=f(x) = x2 -2x -1. Queremos calcular la derivada en el punto de abcisa x=2.

La ordenada correspondiente es  f(2) = -1

Veamos el procedimiento a seguir:

Sigamos con otro ejemplo y calculemos para la función anterior la derivada en x = 0.5

La ordenada para x = 0.5 es f(0.5)= -1.75

 

Comprueba en la siguiente escena estos resultados:

EXPERIMENTA

1.- En la escena actual, observa el valor de f(3).

2.- Observa el valor de la derivada f '(3). Realiza el procedimiento aprendido para calcular f '(3) y comprueba el resultado.

3.- Calcula la ecuación recta tangente a la curva en x=3 y comprueba el resultado con el de la escena correspondiente.

4.- Calcula el intervalo de crecimiento y el intervalo de decrecimiento de la función.

5.- Determina el punto donde f ' (a) = 0. ¿Cómo se llama este punto?

6.- Hallar el valor de a perteneciente al intervalo [-1,1] para el que se cumple que la tasa de variación media TVM[-1,1] coincide con la tasa de variación instantánea  f ´(a)
6. Derivabilidad y continuidad
Estudiaste el concepto de función continua en un punto. Hagamos memoria:

Una función y=f(x) es continua en x=a si y solo si f(a+h)-f(a) ® 0 cuando h ® 0. En otros términos, a variaciones muy pequeñas de la x en torno de a le corresponde variaciones muy pequeñas de f(x) en torno de f(a).

Designando x=a+h, tenemos que h=x-a y se cumple que el "límite de la función es el valor de la función en el límite"

Esta definición obliga a las siguientes cosas:

1ª Que la función esté definida en x=a, ya que ha de existir f(a)

2ª  Que exista el límite de f(x) cuando x ® a. Es decir el límite por la derecha y por la izquierda de a han de coincidir:

3ª f(a) = L

Si alguna de estas cosas no se cumple la función es discontinua en a.

La derivabilidad de f(x) en x=a es una condición analítica más fuerte que la continuidad, puesto que

Si  una función es derivable en x = a, entonces la función es  continua en x=a

Una función puede ser continua en un punto y no tiene por qué ser derivable.

Demostremos esto:

Supongamos y=f(x) derivable en x=a y veamos que pasa con la continuidad en x=a:

por lo que y=f(x) es continua en x=a, pues

El siguiente ejemplo pone de manifiesto lo que hemos dicho arriba.

 
La función del ejemplo y=f(x) presenta las siguientes características observables:

Tiene una discontinuidad por salto finito en x= -1 y puesto que no tiene tangente en x= -1 no es derivable en x = -1.

Tiene un punto anguloso en x =2 y aunque es continua en él, la tangente por la derecha tiene distinta pendiente que la tangente por la izquierda; luego no es derivable en x=2

f ´(2-) = -1.26 ≠ f ´(2+) = 1.26

Resumiendo:

Si f(x) Continua en x=a f(x) puede ser derivable en x=a
f(x) puede no ser derivable en x=a
Si f(x) Derivable en x=a f(x) es continua en x=a

7. Ejercicios para probar la continuidad y derivabilidad

 
El siguiente programa permite definir funciones y=f(x) en dos trozos (-inf,x0) y [x0,+inf) en el primero la función viene dada por la expresión f1(x)=ax2+bx+c y en el segundo f2(x)=a´x2+b´x+c´, donde los coeficientes a, b, c, a´, b´ y c´ pueden ser elegidos a voluntad. El problema consiste en ajustar dichos coeficientes para que la función sea continua o derivable en x0, según los ejemplos que se quieran estudiar.

 

Es decir la función se define así:

1: Inicialmente el programa considera la función f(x) definida como f1(x)=x2+x+1, para x<0 y f2(x)=0.5x2+2, para x>=0.

Como se puede apreciar la función f(x) es discontinua por salto en x=0. Se le propone al estudiante que modifique los parámetros de f2(x) para que la función sea continua, pero no derivable en x=0. En este caso se deberá cumplir que el límite por la izquierda en x=0  coincide con el límite por la derecha en x=0, es decir f1(0-) = f2(0+)=1, pero la derivada por la izquierda no coincide con la derivada por la derecha f1´(0-) ≠ f2´(0+).

Ahora se trata de hacer derivable la función cuando se cumpla que f1´(0-) = f2´(0+). Modificar los coeficientes para conseguirlo. Observar que puede haber varias soluciones.

Anotar en el cuaderno la definición de f(x) para que sea derivable en x=0 en 4 casos al menos.

 

2: Sea la función

 

Ajustar los coeficientes c y b´ para que la función sea continua y derivable en x=1

En este caso la solución es única.

El programa Descartes permite hallar c y b´ mediante ensayo y error y requiere tener un poco de paciencia hasta que el estudiante adquiera destreza sobre todo averiguando como varía la forma de función al modificar los coeficientes.

El método algebraico-analítico va directo a la solución. Intente encontrar la solución antes de ver el siguiente cálculo.

Solución:

Para que la función sea continua en x=1 se debe satisfacer f1(1-)=f2(1+), sustituyendo en f1(x) y f2(x) para x=1 e igualando se obtiene la ecuación 3 + c = b´.

Para que la función sea derivable en x=1 se debe satisfacer f1´(1-)=f2´(1+), es decir hay que calcular las derivadas f1´(1-) y f2´(1+) e igualar.

f1´(x)=4x +1, f2´(x)=2x+b´, por tanto 4 + 1 = 2 + b´, de donde b´ = 3 y sustituyendo en la anterior ecuación entre c y b´ obtenemos  3 + c = 3 y por tanto  c = 0.

 3: Determinar los parámetros c y b´ para que la función f(x) sea continua y derivable en x=2

Se deberá resolver este ejercicio utilizando el método de ensayo-error que proporciona el programa y luego calculará los coeficientes con el método algebraico-analítico, como se hizo en el ejercicio anterior comprobando las soluciones.

 

4: Hallar los coeficientes b y c´ para que la función f(x) sea derivable en x=- 2.

Primero resuélvase mediante el programa Descartes y a continuación mediante el método algebraico-analítico.

       
           
  Ángel Cabezudo Bueno
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001
 
 

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