Ejercicios de aplicación de las ecuaciones de segundo grado

	Ejercicios de aplicación de las ecuaciones de segundo grado.
	Álgebra

Cálculo de la expresión de una ecuación de segundo grado

Como vimos anteriormente, una ecuación de segundo grado puede tener una, dos o ninguna solución. A estas soluciones se las denomina raíces.

Podemos plantear el problema del revés, es decir, conocidas las raíces de una ecuación de segundo grado, hallar su expresión. ¿Cómo lo hacemos?:

Suponemos que la ecuación tiene dos raíces: x1 y x2.
La expresión de la ecuación saldría de igualar a 0 el producto de los monomios (x-x1) y (x-x2).

(x-x1).(x-x2)=0

Para ser más exactos, también cumplirán la condición todas las ecuaciones que resultan de multiplicar a la anterior por un número real, es decir:

K.(x-x1).(x-x2)=0, con K real

Mejor lo vemos con un ejemplo:

Nuestra ecuación tiene dos raíces: 2 y -3. La expresión de la ecuación sería:

(x-2).(x-3)=0

Aplicamos la propiedad distributiva al producto y operamos:

x² - 3x - 2x +6 =0

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Te proponemos un juego:

En la siguiente escena nos aparecen dos puntos aleatorios cuando pulsamos el control "inicio". Considera las coordenadas x estos puntos las raíces de la ecuación de segundo grado que buscamos.

Actividad 7

Genera aleatoriamente las raíces de la ecuación pulsando en el control "inicio".
Calcula la expresión de la ecuación en tu cuaderno de trabajo. Después de operar habrás obtenido:

Un coeficiente cuadrático a. En nuestro caso valdrá siempre 1.
Un coeficiente lineal b.
Un término independiente c.

Introdúcelos en los controles b y c de la escena.

Nota: Recuerda que para nuestro caso a=1, por lo que no necesitamos cambiarlo en la escena.

Si has hecho bién el cálculo, se mostrará en la escena tu acierto.
Cuando hayas dado con la solución, pulsa el botón "animar". Se representará el haz de curvas que cumplen la condición, es decir, todas las ecuaciones que tienen como soluciones nuestras raíces.
Para volver a jugar sólo tienes que pulsar de nuevo "inicio".

Resolución de triángulos

El teorema de pitágoras se enuncia como sigue:

"El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos"

Si conseguimos establecer una relación entre las longitudes de sus lados obtendremos una ecuación de segundo grado.

Mejor lo vemos con un ejemplo:

Tenemos el siguiente triángulo rectángulo:

Según el teorema de Pitágoras se cumple que:

x²+(x+2)²=(x+5)²

Aplicamos la propiedad del cuadrado de la suma a (x+2)² y (x+5)² y operamos:

x² - 6x -21 =0

Resolviendo la ecuación obtendremos el valor de x, y por lo tanto, del resto de lados del triángulo.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Te proponemos un juego:

En la siguiente escena nos aparece un triángulo rectángulo cuando pulsamos el control "inicio". Las longitudes de sus lados mantienen una relación.

Actividad 8

Genera aleatoriamente el triángulo pulsando en el control "inicio". El dibujo te indicará la relación que existe entre sus lados.
Calcula las longitudes de sus lados en tu cuaderno de trabajo. Después de operar habrás obtenido:

El cateto menor x.
El cateto mayor y la hipotenusa (en función de x).

Introdúcelos en los controles "cateto menor", "cateto mayor" e "hipotenusa". Si todo va bién se mostrará en la escena tu acierto.
Calcula el área del triángulo e introdúcela en el control "área". Si todo va bién se mostrará en la escena tu acierto.

Nota: Recuerda que el área de un triángulo rectángulo es igual al producto de sus catetos dividido entre 2. La aplicación te permite un márgen de error por si se pierden decimales en las aproximaciones.

Para volver a jugar sólo tienes que pulsar de nuevo "inicio".

		Amaya Santamaría Gallego

		Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012

Los contenidos de esta unidad didáctica están bajo una licencia de Creative Commons si no se indica lo contrario.