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Álgebra
 
La ecuación de segundo grado
Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son aquellas en las que la mayor potencia de la incógnita es dos.

La expresión general de este tipo de ecuaciones es:
ecuacion_2_grado


donde x representa la incógnita y a, b y c son constantes.
  • a es el coeficiente cuadrático. Es fundamental que a sea distinto de 0, ya que sino se trataría de una ecuación de primer grado.
  • b es el coeficiente lineal.
  • c es el término independiente. 

Representación de una ecuación de segundo grado
La gráfica de una ecuación de segundo grado es una parábola. Ésto quiere decir que si representamos en el plano la función y=ax2+bx+c tendremos una parábola con la coordenada x del vértice en -b/2a.

Más adelante veremos que las soluciones a la ecuación cuadrática son las intersecciones de esta parábola con el eje de abscisas.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.  
En la siguiente escena podemos ver la representación de la ecuación de segundo grado que se genera en función de los coeficientes a, b y c que introduzcamos.

Actividad 1

  • Modifica los valores de los coeficientes a, b y c y observa cómo cambia la parábola.  
Nota: Utiliza los controles "zoom", "OX" y "OY" para visualizar correctamente toda la gráfica.

Actividad 2 
  • Comprueba que para a=0 la función representada es una recta, y no una parábola. ¿Cuál sería la expresión de la función para a=0, b=2 y c=-3?
Actividad 3
  • Representa en tu cuaderno de trabajo la función y = -2x2 + 5x - 3 . Ayúdate, para ello, de la escena.

Resolución gráfica de una ecuación de segundo grado
Las soluciones a la ecuación cuadrática son las coordenadas x de los puntos de intersección de la parábola con el eje de abscisas.
La demostración es sencilla:
  • Si igualamos la función y=ax2+bx+c a 0 obtendremos nuestra ecuación de segundo grado:
ax2+bx+c=0
  • Por tanto, las soluciones a la ecuación serán los valores de x que anulan la función f(x) (x/f(x)=0), es decir, los puntos donde corta f(x) con el eje OX. 
Dependiendo de cómo esté colocada la gráfica en el plano, podremos tener:
  • Dos soluciones distintas: si la parábola corta en dos puntos al eje OX.
  • Una solución doble: si la parábola corta en un único punto al eje OX.
  • Ninguna solución: si la curva no corta al eje.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.  
La siguiente escena nos muestra las soluciones a la ecuación cuadrática representada. 

Actividad 4

  • Situa el punto P sobre los puntos de corte de la curva con el eje OX. La abscisa de P será la solución a nuestra ecuación. Anota los resultados en tu cuaderno de trabajo.
  • Comprueba el resultado pulsando en el control "solución". Si has colocado correctamente el punto P las soluciones mostradas en la escena coincidirán con las que has anotado.
Actividad 5
  • Calcula las soluciones a las siguientes ecuaciones de segundo grado (para ello introduce los parámetros a, b y c y mueve el punto P donde corresponda). Anota los resultados en tu cuaderno de trabajo:
    • 3x2 + 6,7x - 4,4 = 0
    • x2 + 2x +1 = 0
    • 1,6x2 + 2,8x - 4,4 = 0
    • -1,6x2 + 7,6x - 2,9 = 0
    • -2,3x2 + 5,2x - 3,1 = 0
Nota: Recuerda, el control "solución" sólo lo debes utilizar para comprobar tus cálculos.

Solución numérica de una ecuación de segundo grado

Para obtener las soluciones a la ecuación en función de los parámetros a, b y c hacemos el siguiente cálculo:
solucion ecuacion


Al igual que en la resolución gráfica de la ecuación, este cálculo nos proporciona:
  • Dos soluciones distintas: si la raíz cuadrada existe y es distinta de 0.
  • Una solución doble: si la raíz cuadrada existe y es 0.
  • Ninguna solución: si la raíz cuadrada no existe.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.  
Te proponemos un juego:

La siguiente escena nos muestra un juego interactivo para practicar la resolución numérica de ecuaciones de segundo grado. 

Actividad 6

En esta actividad vamos a comprobar que has aprendido a resolver numéricamente ecuaciones de segundo grado. Para ello te proponemos un pequeño juego.
  • Genera aleatoriamente una ecuación de segundo grado pulsando en el control "inicio". 
  • Resuelve la ecuación en tu cuaderno de prácticas e introduce las soluciones de la siguiente forma:
    • Si crees que la ecuación no tiene solución, cambia a "1" la pestaña "sin solución" (si tiene soluciones, esta pestaña debe estar en "0").
    • Si has obtenido una única solución, colócala en la pestaña "solución 1".
    • Si has obtenido dos soluciones, colócalas en las pestañas "solución 1" y "solución 2".
  • Si has hecho bién el cálculo, se mostrará en la escena tu acierto.
  • Para volver a jugar sólo tienes que pulsar de nuevo "inicio".
Nota: Recuerda que debes introducir las soluciones con dos decimales.
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  Amaya Santamaría Gallego
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2012
 
 

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