Ecuación de grado 4

	ECUACIÓN DE GRADO 4
	*Álgebra*

3. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES BICUADRADAS

Se denominan ecuaciones bicuadradas a las ecuaciones de cuarto grado en las que no aparecen términos de tercero ni de primer grado.

Ejemplos: x⁴ - 5x²+4 = 0 . .; . . .x⁴ - 4 = x² – 1

Ya hemos visto en el punto anterior cómo resolverlas algebraicamente.

Gráficamente se pueden resolver como en el caso de las de segundo grado, representando la gráfica correspondiente al primer miembro de la ecuación una vez igualado a 0.

Ver representada en la siguiente escena la primera ecuación del ejemplo: x⁴ - 5x²+4 = 0

"Atención que ahora llamaremos a, b y c respectivamente a los coeficientes de x⁴, x² y término independiente"

La gráfica de la izquierda representa la función y= x⁴ - 5x²+4

1.-Observa la gráfica y fijate en los puntos que ¡corta al eje X! (y=0)¡En este caso corta en cuatro puntos!

Naturalmente eso significa que la ecuación tiene cuatro soluciones:
x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2

Busca las soluciones arrastrando el punto rojo o modificando los valores de x en la ventana inferior)

Comprobación de las soluciones gráficas - Resolución numérica

Para resolver las ecuaciones bicuadradas se procede de acuerdo a los siguientes pasos (los vemos con el ejemplo anterior)

Resolvemos numéricamente la ecuación : x⁴ - 5x²+4 = 0, como hemos aprendido en el primer punto de esta unidad didáctica.

a) Simplificar y agrupar los términos en el primer miembro. (Ya está)

b) Llamar a x² = z (podría ser otra letra cualquiera) , por lo que x⁴ = z² .

c) Resolver la ecuación con la nueva incógnita: z² - 5z + 4 = 0. (Se obtiene usando la fórmula de la ecuación de segundo grado: z = 1 ; z = 4)

d) A partir de los valores de z, obtener los de x:

z = x²= 1, de donde: x = raíz cuadrada de 1 = ± 1
ó
z = x²= 4, de donde: x = raíz cuadrada de 4 = ± 2

Por tanto, obtenemos las cuatro soluciones que antes vimos gráficamente: x = - 2 , x = - 1 , x = 1 , x = 2. Podemos comprobar que dichas soluciones son las que se obtienen al cortar la curva y = x⁴ - 5x²+4 con el eje X.

Prueba a modificar los valores de los parámetros a, b y c que aparecen en la parte inferior de la escena de Descartes anterior, y contesta a las siguientes preguntas en tu cuaderno:

1.- ¿Qué ocurre cuando aumentas el valor de a? ¿Para qué valor de a pasamos de tener cuatro soluciones a ninguna?

2.- ¿Qué ocurre cuando aumentas el valor de a? ¿Para qué valor de a pasamos de tener cuatro soluciones a ninguna?

3.- Cambia el valor de c. ¿Qué le sucede a la gráfica?

Casos posibles para las soluciones

Teniendo en cuenta los tipos de soluciones de una ecuación de segundo grado, para las ecuaciones bicuadradas, se podrán obtener 4, 3, 2, 1 o ninguna solución.

· Cuatro soluciones cuando la ecuación correspondiente de segundo grado tenga dos positivas.

· Tres soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una positiva y una 0. (La raiz cuadrada de 0 es 0 luego de esta sólo se obtiene una)

· Dos soluciones cuando la correspondiente de segundo grado tenga una solución positiva y otra negativa. (La raíz cuadrada de un número negativo no existe)

· Una solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga sólo la solución 0 ó cuando tenga una solución 0 y otra negativa.

· Ninguna solución cuando la correspondiente de segundo grado tenga dos negativas, una sola negativa o ninguna solución.

AHORA TE TOCA A TÍ. PRÁCTICA.

Copia en tu cuaderno las siguientes ecuaciones y resuelvelas numéricamente.

a) x⁴ - 3x² + 2 = 0
b) x⁴ - 10x² = -9
c) x⁴ = x²d) x⁴ - 2x² - 8 = 0

Comprueba con la escena de Descartes que tienes a tu izquierda que las gráficas que le corresponden a dichas ecuaciones nos dan las mismas soluciones.

Copia la gráfica junto con la resolución numérica de cada ecuación.

	Autor: Leoncio Santos Cuervo - Adaptación de: Eva M. Perdiguero Garzo

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009

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