DÉRIVÉES. APPLICATIONS. OPTIMISATION
Analyse
 
7. APPLICATIONS DE LA DÉRIVÉE À LA PHYSIQUE, À LA BIOLOGIE ET D'AUTRES SCIENCES

  • Si e=f(t) nous donne la position d'un automobile par rapport au temps, alors v=f '(t) nous donne la vitesse de cette voiture dans chaque instant.

  • Si v=g(t) nous donne la vitesse de cet automobile en fonction du temps, alors a=g'(t) nous donne leur accélération.

  • En général, si f(t) donne la variation d'une variable par rapport au temps, alors f '(t) donne la vitesse de variation de cette variable en passant le temps.

EXERCICES
7.- Revenons à l'exemple de l'autobus du commencement de cette unité.

Maitenant nous savons davantage et nous pouvons résoudre mieux le problème.

Équations de mouvement du:

Autobus

y = (4/225) t2

Voyageur turquoise

y = 0.535 t -3.745

Voyageur vert

y = 0.8 t -8

Voyageur bleu

y = (10/529) t2 - (10/23) t + 9.5

Voyageur orange

y = 9.6

Où y est l'espace (une unité dans la scène correspond à 10m) et t le temps en secondes.

Le point (0,0) correspond à l'arrêt de l'autobus dans l'instant où il démarre.

En augmentant doucement la valeur du paramètre temps dans la scène tu pourras voir la position de l'autobus et de chaque passager dans chaque instant.
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

a) Dans quel instant est-ce que les voyageurs turquoise et vert arrivent à l'arrêt?

b) À quelle distance se trouvent les voyageurs de l'arrêt bleu et orange, quand l'autobus démarre de l'arrêt?

c) Dans quel instant et à quelle distance de l'arrêt se trouvent chacun des quatre voyageurs de l'autobus?

d) Calculez la vitesse aussi bien de l'autobus, que de chaque voyageur, à chaque instant, en calculant la dérivée de chaque fonction espace.

e) Déduis quel voyageur attrape l'autobus "doucement" et lequel non.

Solution

8.- Imaginons que le nombre de bactéries d'une culture varie avec le temps, exprimé en minutes, selon l'équation N=500+50t-t2 pour tÎ[0,35]

Quelle est la vitesse de croissance de la population dans l'instant t=7 min?
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE. Trouvant la dérivée de la fonction N(t), N'(t) est la vitesse de la croissance de la population dans n'importe quel instant t.

Trouvant N'(7) nous pourrons répondre à la question.

Faites les calculs dans ton cahier.

 
Dans cette scène est représentée la fonction N(t) quand s=0. Si s=1 se dessine la fonction dérivée N'(t). En changeant la valeur de t on pourra découvrir la vitesse de croissance dans chaque instant..

9.- Une voiture télécommandée bouge selon l'équation d=0.2t2+0.03t3, tÎ[0,20] (d en mètres et t en secondes)

a) Trouvez leur vitesse dans les instants 2s, 8s, 15s, 20s.

b) Dans quel instant leur vitesse est de 13 m/s?

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Trouvant la dérivée de la fonction d(t), d'(t) est la vitesse de la voiture dans n'importe quel instant t.

Trouvant d'(2) nous pourrons trouver la vitesse dans l'instant 2s, et ainsi succesivement.

Faites les calculs dans ton cahier.

 
Dans cette scène il y a représenté la fonction d(t) quand s=0. Si s=1 se dessine la fonction dérivée d'(t). Changeant la valeur de t tu pourras découvrir la vitesse de la voiture dans chaque instant.
  Índice de la unidad   Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones   Problemas de optimización (I)  
           
  Ángela Núñez Castaín
Version française: Rocío Oliver Sánchez, Carme Llaberia Azcón, Joan Carles Fiol Colomar
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Année 2011
 
 

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