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CUADRADOS MÁGICOS 3X3 |
| Bloque. Taller de Matemáticas | |
| 1. RESOLUCIÓN DE UN CUADRADO MÁGICO 3X3 | ||
| La siguiente escena presenta un pasatiempo muy conocido. Consiste en colocar los números del 1 al 9 en una tabla de 3x3 de manera que la suma de los números de cada fila, columna y diagonal dé siempre el mismo resultado. Se puede empezar a resolverlo por puro tanteo, pero es mejor pensar cuál debe ser esa constante mágica a la que es igual la suma de cualquier fila, columna o diagonal. Para poder mover un número hay que pinchar (cerca del centro) y arrastrar. Existen 8 soluciones, y una vez obtenida una, las otras 7 son fáciles de conseguir. | ||
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1.- Escribe en tu cuaderno alguna de las 8 soluciones. 2.-
Intenta encontrar alguna más y observa que todas las
soluciones, se pueden obtener a partir de
una mediante giros y/o simetrías respecto de cualquier eje de simetría
del cuadrado. Podemos considerar que, en el fondo, sólo hay una
solución para el pasatiempo propuesto. |
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Al resolver este pasatiempo lo
que hemos hecho es construir un Cuadrado
Mágico de 3x3. El
cuadrado mágico de este pasatiempo era ya conocido por los chinos
desde el siglo IV a. C., aunque algunos piensan que se compuso en la
India varios siglos antes. Los chinos le dieron un significado místico,
simbolizando los números pares el ying y los impares el
yang.
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| 2. CREACIÓN DE CUADRADOS MÁGICOS 3X3 | |
| Los
cuadrados mágicos de orden 1 son triviales. No existen de orden 2, ¿por
qué?. De orden 3 hay muchos, uno ya lo conocemos.
La siguiente escena nos puede ayudar a crear nuestros propios cuadrados mágicos de orden 3. Para utilizarla se hace <clic> con el botón derecho del ratón para que aparezca una ventana donde introducir los valores correspondiente a cada celda de la tabla. Sólo se permiten números enteros (un cuadrado mágico con números racionales se obtiene fácilmente a partir de uno con números enteros, ¿cómo?). Los números, en valor absoluto, no deberían sobrepasar el millar si queremos evitar que invadan las celdas de al lado. Suerte y a intentarlo. |
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1.- ¿Qué
pasa si a todos los números de un cuadrado mágico les sumamos una
misma constante? ¿y si los multiplicamos por un mismo valor? ¿qué
se obtiene si sumamos celda a celda dos cuadrados mágicos?.
2.-Escribe en tu cuaderno alguno de los cuadrados mágicos que hayas creado. 3.-Si has obtenido varios cuadrados mágicos, has podido observar que en cada uno de ellos la constante mágica es siempre el triple del valor central. Esto es fácil de probar y es lo que haremos a continuación llamando s a la constante mágica: |
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En realidad, con el avance de las matemáticas, el misticismo de los cuadrados mágicos de orden 3 ha pasado a la historia. Crear un cuadrado mágico de orden tres es muy simple, pues se trata de resolver un sistema de 8 ecuaciones lineales con 9 incógnitas, que resulta ser siempre compatible (es decir, siempre tiene solución), sea cual sea la constante mágica. Un ejemplo: Tomemos para s el valor 33. El valor central tendrá que ser 11, ¿por qué?. Pongamos en la celda 1 el valor 7 y en la celda 2 el valor 12. Calculemos el valor de la celda 3: 33-7-12=14, ahora le toca el turno a la celda 7 o a la 9. El resto se deja para el lector. Esperemos no tener la mala suerte de que aparezca un número repetido; si tal ocurriera, empecemos de nuevo cambiando uno de los dos valores puestos al principio. Hemos visto, pues, cómo crear un cuadrado mágico de orden 3, sin embargo, colocar nueve números distintos de tal forma que formen un cuadrado mágico puede ser complicado, incluso, imposible. Las dos cuestiones que vienen a continuación servirán como ejemplos de lo dicho. 4.-Construir un cuadrado mágico con los números: 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14. 5.-¿Se puede construir un cuadrado mágico con los números 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23? |
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| Salvador Calvo-Fernández Pérez | ||
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | ||
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