Continuidad de funciones:
Clasificación de discontinuidades.
Análisis
 
Discontinuidades.

Un punto x=a es un punto de discontinuidad de la función y = f(x), si la función no es continua en dicho punto.

Por lo estudiado en los capítulos anteriores, se deduce que una función es discontinua en un punto si ocurre cualquiera de los siguientes problemas:

1) Que la función no esté definida en el punto.

2) Que no tenga límite en el punto.

3) Que esté definida, tenga límite en el punto, pero que el valor de la función no coincida con el valor del límite.

Estas situaciones dan lugar a la siguiente clasificación de discontinuidades.

Discontinuidades evitables.

Es un tipo de discontinuidad en la que existe el límite y éste es finito, pero el valor de la función en el punto o no existe o es diferente del valor del límite. Se llama evitable porque podemos "hacerla continua" dándole a la función en el punto el valor del límite. (En realidad se construye una nueva función que coincide con la anterior en todos los puntos salvo en el punto de discontinuidad. En ese punto, a la nueva función se le da el valor del límite).

Estudia la continuidad de la función en el punto x = 2:

Como puedes comprobar en la escena adjunta, se cumple que

y

Los límites laterales existen y coinciden, luego el límite en x=2 existe.

Como puedes comprobar en la escena, f no está definida en x=2 (¿por qué?). Por lo tanto, esta función tiene una discontinuidad evitable en x=2.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Podemos reconstruir la función f de manera que f(2)=4 y de esa forma habremos evitado la discontinuidad.

17.- Estudia la continuidad de la función en x = 1.

Discontinuidad de primera especie o de salto.

Es un tipo de discontinuidad en la que la función presenta un salto en el punto:
Existen los límites laterales en el punto, pero toman valores diferentes o infinito .

Selecciona el parámetro m=1 en la siguiente escena. Vamos a estudiar la continuidad de la función sgn(x) en x=0. Si te acercas al cero, tanto por la derecha como por la izquierda, puedes comprobar que

Los límites laterales no coinciden y, por tanto, no existe límite en x=0.

La función tiene una discontinuidad de primera especie de salto 2 en x=0. El salto 2 es la diferencia entre los dos límites laterales.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

Dale ahora a m el valor 2. Estudiamos la continuidad de la función y=1/x en x=0. Al acercarnos al cero por ambos lados podemos comprobar que:

La función tiene una discontinuidad de primera especie de salto infinito en x=0.

 

18.- Estudia la continuidad en x = 1 de la función :

19.-Estudia la continuidad de la función siguiente en x=0:

Discontinuidades de segunda especie.

Este tipo de discontinuidad se produce cuando no existe uno de los límites laterales, o ambos.

Estudia la continuidad de la función en el punto x = -5:

Como puedes comprobar en la escena adjunta, se cumple que

no existe, ya que la función no está definida para los x < -5 y

La función tiene en x = -5 una discontinuidad de segunda especie.

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

20.- Estudia la continuidad de la función en el punto x = 1.

       
           
  Belén Pérez Zurdo.
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001