Diremos que una función y = f(x) es continua en un punto a, si f está definida en dicho punto (existe f(a)); existe el límite de esa función cuando x tiende a a, y ese límite coincide con f(a). Esta definición es equivalente a las siguientes definiciones que son utilizadas con más frecuencia:

• f es continua en a si
• f es continua en a si

• f es continua en a si f(a) ==

10.- Observa la función, haz que el punto P tienda a A arrastrándolo con el ratón, o tomando valores del parámetro (a+h) muy próximos a (a). Tanto a la izquierda como a la derecha de a , verás que h tiende a 0. ¿Qué valores toma el incremento de la función: f(a+h) - f(a)?. Razona tu respuesta.

11.-Si llamamos (a+h) = x , cuando (x) tiende a (a) ¿a qué tiende f(x)?. Razona tu respuesta.

Hemos visto antes que una función, y = f(x), es continua en un punto a de su dominio si . Utilizando la definición de límite de una función en un punto eso significa:

"Para todo entorno de centro f(a) y radio ß, existe un entorno de centro a y radio ð tal que todos sus puntos x tienen su imagen, f(x), dentro del entorno de centro f(a) y radio ß".

De otra forma: "Si x dista de a menos de ð, su imagen f(x) dista de f(a) menos que ß".

f(6) = 3,6

Si ß = 1 , los puntos P cuya abscisa x está dentro del entorno (6-ð , 6+ð ) = (5,22 , 6,78) tienen su imagen f(x) dentro del entorno de centro f(6) = 3,6 y radio 1. Compruébalo arrastrando el punto P, con el ratón, por la curva.

Puedes comprobar que si x se acerca a 6 su imagen f(x) se acerca a f(6).

Cambia el valor del parámetro ß en la escena, verás que para cada valor de ß, ð adquiere distinto valor. Arrastra el punto P con el ratón y observa qué valores de x cumplen que su imagen está dentro del intervalo (f(6)-ß, f(6)+ß) .

Para cualquier valor que cojamos del parámetro ß, siempre obtenemos un valor del radio ð, tal que si x dista de 6 menos que ð, entonces f(x) dista de f(6) = 3,6 menos de ß.

Esto quiere decir que

Seguimos trabajando en el punto a = 6.

12.- ¿Cuánto vale el radio ð si ß = 0.8?.

13.- ¿Qué valores de x cumplen que su imagen f(x) dista de 3,6 menos de 0,5?. Puedes resolverlo arrastrando el punto P con el ratón a través de la curva. Escribe tu respuesta.

14.- Para a = 6 ,operando en tu cuaderno, calcula el valor de ð en función de ß. ¿Es continua la función en el punto x = 6?

Puedes estudiar la continuidad de la función en otro punto, variando el parámetro a de la escena.

Elige a = 5 y contesta las siguientes cuestiones:

15.- ¿ Qué valores de x cumplen que su imagen dista de f(5) menos de 2?

16.- Para a = 5, ¿existe un ð para cada valor de ß ?, calcúlalo y escríbelo en tu cuaderno. ¿Es continua la función en el punto x = 5?