ÁREA LATERAL Y TOTAL DE PIRÁMIDES
Geometría
 

1. ÁREA LATERAL DE LA PIRÁMIDE.

   Ahora le toca el turno a las pirámides. En la primera escena de esta página se representan pirámides sin base. Los controles que se utilizan os permiten variar el número de caras, la arista básica y la apotema de la pirámide. Recordad que la apotema de una pirámide corresponde a la altura de cualquiera de los triángulos que forman sus caras.

1.- Variad los valores de los diferentes controles que aparecen en la parte inferior de la escena y observad como se va modificando la pirámide representada.

     En algunos casos la pirámide desaparece. Si eso os sucede, mirad qué valores les habéis dado a los controles. Intentad dar una explicación a este hecho.

2.- Con la ayuda de la escena, construid una tabla que recoja los datos oportunos para cinco pirámides de distintas apotemas y distintas aristas básicas, pero manteniendo el número de caras a 4.

3.- Repetid la actividad 2 pero, ahora, mantened el valor de la arista básica igual a 1, la apotema de la pirámide igual a 2 y variad el número de caras desde 3 hasta 6.

4.- Al dividir el valor del área lateral entre el valor del área de la cara, para las pirámides de las actividades anteriores, que obtenéis?

5.- Si habéis resuelto las actividades anteriores ya estáis en condiciones de poder dar una expresión que nos permita obtener el área lateral de una pirámide conocidas: la arista básica, la apotema de la pirámide y el número de caras.

6.- Comprobad que la expresión hallada es correcta calculando el área lateral de una pirámide pentagonal, de 0,80 cm. de arista básica y 1,4 cm. de apotema,  comparándola con la obtenida usando la escena anterior.


2. ÁREA TOTAL DE LA PIRÁMIDE.

   La escena que acompaña a este apartado, similar a la anterior, incluye la representación de la base de la pirámide y nos aporta nuevos datos.  Para facilitar algunas actividades en la escena se muestran los valores de la apotema de la base, del área de la base y del área total de la pirámide, además de los datos que ya aparecían en la escena previa.

7.- Para las pirámides que habéis usado en las actividades 2 y 3, completad una tabla similar a la siguiente:

Caras Arista base Apotema pirámide Área cara Área base Área lateral Área total
3 1 1,40 0,70 0,43 2,10 2,53
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...

8.- Qué relación existe entre: área base, área lateral y área total?.

9.- Con los resultados y observaciones que habéis obtenido en las actividades anteriores, obtened una expresión que nos permita calcular el área total de una pirámide, conocida su arista básica, su apotema y el número de caras.

10.- Comprobad que la expresión hallada en la actividad anterior es correcta. Para ello usadla para calcular las áreas totales obtenidas en la actividad 7.


3. APLICANDO PITÁGORAS.

   En muchas ocasiones los datos de los que se dispongan para poder calcular las áreas de pirámides, ya sea lateral o total, obliga a la realización de determinados cálculos previos. Dichos cálculos permitirán conocer algón dato necesario para poder aplicar las fórmulas halladas en los apartados anteriores. Un caso, de los posibles, sería que se conociera la altura de la pirámide y la apotema de la base, además de la arista básica.

11.- En la escena adjunta, se puede ver una pirámide con un triángulo en su interior. Qué tipo de triángulo es?Qué representan sus lados?.

12.- Con la ayuda de la escena obtened las apotemas de las pirámides cuadrangulares siguientes (los datos en cm.):

Altura Apot. base Apot. pirámide
3 0,6 ?
2,5 1 ?
1,6 0,7 ?
2 1,3 ?
2,3 1,5 ?

13.- Usad la escena para determinar las áreas lateral y total de cada una de las pirámides de la actividad anterior. Comprobad, usando el teorema de Pitágoras y las fórmulas de las áreas correspondientes, la validez de los datos obtenidos.

14.- Para una arista de 1,4 cm. y una altura de 2 cm. determinar, mediante la escena: la apotema de la base, la apotema de la pirámide, el área lateral y el área total cuando el número de caras de la pirámide es: 3, 5, 6, 8 y 10 caras. Comprobad, usando el teorema de Pitágoras y las fórmulas de las áreas correspondientes, la validez de los datos obtenidos.


       
           
  Josep M Navarro Canut
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
 
 

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