GEOMETRÍA JUGANDO AL BILLAR
(Problema extraído del libro "Matemáticas-Algoritmo 3" Vizmanos-Anzola Ed.SM 3ºBUP)
Una de las reglas básicas en la resolución de problemas consiste en empezar por lo más fácil: estudiaremos primero como conseguirlo a "una" banda (la inferior)
1.- Mueve por la banda (bien con el ratón o utilizando el control numérico inferior) el punto R hasta que S coincida con B:
Veamos ahora como obtener la solución, tanto gráficamente como analíticamente.
GRÁFICAMENTE
2.- Representa en tu cuaderno la mesa de billar y las bolas.
El punto R será aquel que verifica que es su suma de distancias a A y B es mínima. |
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Si no hubiera banda inferior, la bola seguiría hasta el
punto B' (simétrico del B repecto de esa banda), y d(A,R )+ d(R,B) = d(A,R) + d(R,B') = d(A',R)+d(R,B) que será mínima cuando A, R y B' estén alineados (en cuyo caso tmbién lo estarán A',R y B). a) Representa el punto B'. |
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ANALÍTICAMENTE
Fijamos un sistema de referencia con el origen en el extremo inferior izquierdo y tomando como eje de abscisas la banda inferior y como eje de ordenadas la banda izquierda. De esta forma las coordenadas del punto A serán (7,2), las de B(22,5) y las de B'(22,-5).
3.- a) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A y
B'. b) Halla la intersección de la recta anterior con el eje de abscisas. Sol: R = "7x+15y=79" "y=0" = (79/7,0) (11'286,0) |
(Nota: Quedaría como ejercicio hacer lo mismo pero suponiendo que el rebote es en alguna de las otras tres bandas)
Afrontemos ahora el problema inicial: con dos bandas (considerando que el primer rebote se produce en la inferior).
Con un razonamiento análogo al anterior se pueden obtener dos soluciones:
4.- Mueve por la banda el punto R hasta que T coincida con B:
5.- Gráficamente:
Una solución la obtendras como intersección de la banda inferior con el segmento A'B''' (con A' el simétrico de A respecto de la banda inferior y B''' el simétrico de B respecto de la banda superior).
La otra se obtiene como intersección de la banda inferior con el segmento A'B'' (con B'' el simétrico de B respecto de la banda derecha).
6.- Analíticamente: a) Halla la
ecuación de la recta que pasa por A' y B'''. b) Halla la ecuación de la recta que pasa por A' y B''. c) Halla las intersecciones con el eje de abscisas de las rectas
anteriores. |
7.- Supongamos ahora que la mesa no es rectangular sino que se trata de un triángulo equilátero de 14 u. de lado.
¿Qué recorrido deberá seguir la bola para que, saliendo del punto A y que después de rebotar en DOS bandas, alcance el punto B? |
Autor: Andrés Mateos Royo
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||