GEOMETRÍA JUGANDO AL BILLAR

"Carlos y D. Juan, su profesor de matemáticas, están jugando al billar. Al poco tiempo Carlos le pregunta a D. Juan: ¿Qué recorrido tendrá que hacer la bola A para dar a la bola B después de tocar en dos bandas?"

(Problema extraído del libro "Matemáticas-Algoritmo 3" Vizmanos-Anzola Ed.SM 3ºBUP)

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Una de las reglas básicas en la resolución de problemas consiste en empezar por lo más fácil: estudiaremos primero como conseguirlo a "una" banda (la inferior)

1.- Mueve por la banda (bien con el ratón o utilizando el control numérico inferior) el punto R hasta que S coincida con B:

Veamos ahora como obtener la solución, tanto gráficamente como analíticamente.

GRÁFICAMENTE

2.- Representa en tu cuaderno la mesa de billar y las bolas.

  • las dimensiones del rectángulo son 28 x 14 "unidades".

  • el punto A está a 7 u. de la banda izquierda y a 2 u. de la banda inferior.

  • el punto B está a 22 u. de la banda izquierda y a 5 u. de la banda inferior.

El punto R será aquel que verifica que es su suma de distancias a A y B es mínima.

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Si no hubiera banda inferior, la bola seguiría hasta el punto B' (simétrico del B repecto de esa banda), y
d(A,R )+ d(R,B) = d(A,R) + d(R,B') = d(A',R)+d(R,B)
que será mínima cuando A, R y B' estén alineados (en cuyo caso tmbién lo estarán A',R y B).

a) Representa el punto B'.
b) Representa el segmento AB'.
c) R es la intersección del segmento AB' con la banda inferior.

...billar3.gif (931 bytes)

ANALÍTICAMENTE

Fijamos un sistema de referencia con el origen en el extremo inferior izquierdo y tomando como eje de abscisas la banda inferior y como eje de ordenadas la banda izquierda. De esta forma las coordenadas del punto A serán (7,2), las de B(22,5) y las de B'(22,-5).

3.- a) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por A y B'.
b) Halla la intersección de la recta anterior con el eje de abscisas.

Sol: R = "7x+15y=79" inters.gif (60 bytes) "y=0" = (79/7,0) aprox.gif (55 bytes) (11'286,0)

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(Nota: Quedaría como ejercicio hacer lo mismo pero suponiendo que el rebote es en alguna de las otras tres bandas)

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Afrontemos ahora el problema inicial: con dos bandas (considerando que el primer rebote se produce en la inferior).

Con un razonamiento análogo al anterior se pueden obtener dos soluciones:

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4.- Mueve por la banda el punto R hasta que T coincida con B:

5.- Gráficamente:

6.- Analíticamente:

a) Halla la ecuación de la recta que pasa por A' y B'''.
Sol: 5x-3y=41

b) Halla la ecuación de la recta que pasa por A' y B''.
Sol: 7x-27y=103

c) Halla las intersecciones con el eje de abscisas de las rectas anteriores.
Sol: R1=(41/5,0)=(8'2,0); R2=(103/7,0)aprox.gif (55 bytes)(14'71,0)

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7.- Supongamos ahora que la mesa no es rectangular sino que se trata de un triángulo equilátero de 14 u. de lado.

billar8.gif (1003 bytes) ¿Qué recorrido deberá seguir la bola para que, saliendo del punto A y que después de rebotar en DOS bandas, alcance el punto B?

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"Ahora es D. Juan quien le dice a Carlos: ¿Y si queremos que la bola A dé a la bola B después de tocar en tres bandas? ¿Cual sería el recorrido?"

Ver respuesta

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Y ahora algo más dificil, dice D. Juan a Carlos: ¿En qué dirección tendrás que lanzar la bola para que, después de tocar las cuatro bandas del billar, vuelva al mismo punto? En ese caso, ¿cuál será la longitud del camino recorrido por la bola?

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Autor: Andrés Mateos Royo

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000