Sucesiones acotadas

Introducción

En topografía se llama cota a la altura del terreno en un punto, así, por ejemplo, se dice que el monte Everest tiene la cota más alta del planeta con 8.848 metros, o que se ha descubierto una sima en el mar con una cota que tiene -10.617 metros.

En este apartado estudiaremos la topografía de las sucesiones, dando algunas definiciones y métodos para determinar esas cotas, cuando existan.
Si se mueven los puntos anaranjados cambiarán las cotas de la montaña y de la sima.
(La escala permite cambiar la perspectiva, alejándose o acercándose).
Sucesiones acotadas inferiormente

Se dice que una sucesión de números reales esta acotada inferiormente si hay un número k menor que todos los términos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión son siempre mayores que k.

Por lo tanto, en su representación en el plano cartesiano los puntos estarán por encima de la recta y=k.

a n ³ k o bien a n - k ³ 0
1.- Anota tres cotas inferiores para esta sucesión.
(Puedes usar la escala, O.x y O.y para ver mejor la representación de otros términos).
En el ejemplo, se ve que la sucesión tiene muchas cotas inferiores: 0'5, 0, -1, -26, ... A la mayor de las cotas inferiores se le llama ínfimo.

2.- Busca el ínfimo de esta sucesión.
Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

3.- ¿Tiene mínimo la sucesión del ejemplo?
Sucesiones acotadas superiormente

Se dice que una sucesión de números reales esta acotada superiormente si hay un número K mayor que todos los términos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión son siempre menores que K.

Por lo tanto, su representación en el plano cartesiano serán puntos que no sobrepasan un la recta y=K.

a n £ K o bien a n - K £ 0
4.- Recorre la sucesión y observa que en este ejemplo se cumple la condición y la sucesión está acotada superiormente.
(Usa la escala, O.x y O.y para ver mejor la representación de otros términos).
En el ejemplo, se ve que la sucesión tiene muchas cotas superiores: 5, 6, 10, 35, ... A la menor de las cotas superiores se le llama supremo.

5.- Busca el supremo de esta sucesión.
Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

6.- ¿Tiene máximo la sucesión del ejemplo?
Sucesiones acotadas

Se dice que una sucesión de números reales está acotada si está acotada superiormente e inferiormente. Es decir si hay un número k menor que todos los términos de la sucesión y otro K mayor que todos los términos de la sucesión. Es decir que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K.

Por lo tanto, en su representación en el plano cartesiano los puntos estarán entre la recta y=k y la recta y=K.

k £ a n £ K
7.- Recorre la sucesión y observa que en este ejemplo se cumple la condición y la sucesión está acotada.

(Usa la escala, O.x y O.y para ver mejor la representación de otros términos).
8.- Busca el supremo y el ínfimo de esta sucesión.
9.- ¿Hay máximo y mínimo?
Sucesiones no acotadas

Se dice que una sucesión de números reales no está acotada si no lo está superiormente o inferiormente, es decir cuando no está acotada por alguno de los dos lados o por ambos a la vez.

9.- Busca tres ejemplos de una sucesiones no acotadas, una que no tenga cota superior y sí inferior, otra que tenga cota inferior pero no superior y otra que no tenga cotas por ninguno de los lados.
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Autor: Juan Madrigal Muga

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000