Puntos críticos |
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Introducción
Concepto
Teorema de Rolle
Técnica para el cálculo de extremos absolutos en intervalos cerrados
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Ejercicios | |||||||||||||||||||||||||||||
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1:
Sea la función f(x)= ex-1. Estudiar las
funciones f(x), f(|x|) y |f(x)| con objeto de determinar
los valores críticos y obtener los extremos que alcanza la función en
el intervalo [-1,1].
Resuelva el alumno el problema de forma analítica y verifique la solución con ayuda del programa. |
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2:
Las funciones e|x|-1 y 1-x4/5 toman
valores iguales en los extremos del intervalo [-1,1].
Demuestra que la derivada de estas funciones no se anulan en ningún
punto del intervalo. ¿Contradice este resultado el Teorema de Rolle?
¿Por qué?
Indicación: e|x|-1 puede ser consultada en el programa Descartes anterior (función=2). La segunda puede ser visualizada poniendo función=0 y reemplazando la entrada y=f(x) del programa por y=1-abs(x)^(4/5) que es equivalente a la dada y la puede representar para (-1,1) cosa que no hace con la dada que solo la representa para x>=0. |
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4:
Calcular y
clasificar los puntos críticos de las siguientes funciones irracionales.
Determinar los extremos en el correspondiente intervalo:
Resolver el problema de forma analítica y utilizar el programa Descartes del margen izquierdo para verificar las soluciones obtenidas. Hacer el esfuerzo de entender la forma de la gráfica, ver la monotonía comparando crecimiento o decrecimiento con el signo que aporta la derivada.
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Soluciones:
1: Los extremos de
las funciones en el cerrado [-1,1] se averiguan calculando los valores
críticos. f(-1)=e-1-1=1/e -1=-0.6321; f(1)=e1-1=1.7182. Conclusión: En x=-1 se alcanza el mínimo absoluto y en x=1 se alcanza el máximo absoluto. b) f(|x|)=e|x|-1 se define como ex-1 si x>=0; e-x-1 si x<0. La función es continua en x=0 pues los límites laterales son e0-1=0 y e-0-1=0 y coinciden. La función derivada será f'(|x|)=ex si x>0 y f'(|x|)=-e-x si x<0, luego podemos investigar un punto crítico en x=0. Como f'-(0)=e0=1 y f'+(0)=-e-0=-1 no coinciden, la función f(|x|)=e|x|-1 no es derivable en x=0 y constituye un punto crítico cuyo valor es f(|0|)=e|0|-1=1-1=0 Por ser f'(|x|)>0 para x>=0 la función es creciente para x>=0 y no hay singularidades. Por ser f'(|x|)<0 para x<0 la función es decreciente para x<0 y no hay singularidades. Basta por tanto calcular los valores en x=-1 y x=1: f(|-1|)=e-(-1)-1=e-1=3.7182 ; f(|1|)=e1-1=e-1=3.7182 Conclusión: x=0 es un mínimo absoluto y x=-1 y x=1 son máximos absolutos c) |f(x)|=|ex-1| es continua en [-1,1], por serlo ex-1 y se define como sigue: |f(x)|=ex-1 si ex>=1 Û x >=0; |f(x)|=-ex+1 si ex<1 Û x < 0 Calculemos los puntos críticos: La derivada es |f(x)|'=ex si x>0 y |f(x)|'=-ex si x<0. Como las derivadas laterales en x=0 son, por la izquierda -1 y por la derecha 1 y no coinciden la función no es derivable en x=0 y constituye un punto crítico cuyo valor es |f(0)|=|e0-1|=0 Veamos si hay singularidades: Para x<0, |f(x)|'=-ex es siempre negativa y no hay singularidades (función estrictamente decreciente. Para x>0, |f(x)|'=ex es siempre positiva y no hay singularidades (función estrictamente creciente). Resta evaluar la función en los extremos del intervalo: Para x=-1: |f(-1)|=-e-1+1=-1/e+1=0.6321 Para x=+1: |f(+1)|=e+1-1=e-1=1.7182 Conclusión: los puntos críticos son x=0, x=-1 y x=1 y los extremos de la función se alcanzan en x=-1 Mínimo y x=+1 Máximo |
2:
El teorema de Rolle asegura que si la función es continua en [-1,1],
derivable en (-1,1) y f(-1)=f(1) entonces existe un c en (-1,1) donde la
derivada se anula.
Si falla alguna premisa no puede garantizarse esto. Y esto es lo que ocurre con estas funciones: a) f(x)=e|x|-1 es continua en [-1,1], f(-1)=f(1)=e-1, pero no es derivable en (-1,1), como ya ha sido visto en el problema anterior. b) f(x)=1-x4/5 es continua en [-1,1], f(-1)=f(1)=0, pero no es derivable en (-1,1). Como puede verse en la expresión f'(x)=-(4/5)x-1/5=-(4/5) / x1/5 que no está definida en x=0. |
3: a) Sea
la función f(x)=|4x3-3x2| definida en [-1,1]. La función
es continua en [-1,1] por serlo en R (valor absoluto de
una polinómica).
Estudiemos donde cambia el signo del polinomio 4x3-3x2. Calculemos los ceros: 4x3-3x2=0 <-> x2(4x-3)=0 -> x=0; x=3/4. Puesto que x2>=0 para todo x, el signo de f(x) es el signo del factor 4x-3: 4x-3>0 <-> x>3/4 y 4x-3<0 <-> x<3/4. Podemos definir la función así: f(x)=4x3-3x2 para x>=3/4; f(x)=-(4x3-3x2)=-4x3+3x2 para x<3/4 La no derivabilidad hay que estudiarla en x=3/4 (empalme de las curvas) f'(x)=12x2-6x para x>3/4; f'(x)=-12x2+6x para x<3/4. Tomando límites laterales de f'(x) en x=3/4 obtenemos f'+(3/4)=9/4 y f'-(3/4)=-9/4. No existe f'(3/4). Un punto crítico es x=3/4 donde la función no es derivable. Como a la izquierda de x=3/4 f'(x) es negativa y a la derecha es positiva, la curva pasa de decreciente a creciente y en x=3/4 hay un mínimo local. Veamos otros posibles extremos locales de la función, donde se anule la derivada: En x<3/4, f'(x)=0 <-> -12x2+6x=0 <-> -6x(2x-1)=0 -> x=0; x=1/2 En x>3/4, f'(x)=0 <->12x2-6x=0 <-> 6x(2x-1)=0 -> x=0; x=1/2, que no pertenecen al intervalo x>3/4. Por tanto los posibles extremos locales están en x=0 y x=1/2. Para discriminarlos veamos el signo de la derivada segunda: Para x<3/4, f''(x)=-24x+6: f''(0)=6>0; f''(1/2)=-6<0. Otros puntos críticos localizados son x=0 ( mínimo) y x=1/2 (máximo). Los extremos el intervalo x=-1 y x=1 también son puntos críticos. Los extremos absolutos se estudian en los puntos críticos: f(-1)=7; f(1)=1; f(0)=0; f(1/2)=1/4; f(3/4)=0. Conclusión: x=-1 es un punto máximo absoluto y x=0, x=3/4 son mínimos absolutos b) Sea la función f(x)=x2-|x|-2, que es continua en [-2,1]. Para x>=0, f(x)=x2-x-2 y para x<0, f(x)=x2+x-2. La función derivada quedará definida por f'(x)=2x-1 para x>0 y f'(x)=2x+1 para x<0. Veamos que ocurre en x=0. Las derivadas laterales en x=0 son f'+(0)=-1 y f'-(0)=1. La derivada en x=0 no está definida y es por tanto un punto crítico; f(0)=-2 Si observamos f'(h)<0, para x>0 y arbitrariamente pequeño y f'(-h)>0 por tanto x=0 es un máximo local. Determinemos ahora las singularidades, igualando a cero la derivada: Para x>0, f'(x)=2x-1=0 ->x=1/2. f''(1/2)=2>0. Por tanto x=1/2 es un mínimo local y f(1/2)=-9/4. Para x<0, f'(x)=2x+1=0 ->x=-1/2, f''(-1/2)=2>0. Par tanto x=-1/2 es un mínimo local y f(-1/2)=-9/4. Los extremos absolutos o globales en [-2,1] se escogerán de entre los valores f(-2)=0; f(-1/2)=f(1/2)=-9/4 y f(0)=-2 Conclusión: El máximo absoluto se alcanza en x=-2 y el mínimo absoluto en x=-1/2 y en x=1/2. |
4:
a) Sea la función f(x)=2x+3x2/3
continua en [-4,1]. Para hallar los puntos críticos estudiemos la
derivada:
f' (x) = 2+2x-1/3=2(1+1/x1/3)=2(1+x1/3)/x1/3 igualándola a cero obtenemos 1+x1/3=0 -> x=-1. Entonces x=-1 es un punto singular. Si x=-1-h, donde h>0 y arbitrariamente pequeño, entonces f'(-1-h)>0; si, por el contrario, x=-1+h, se tiene f'(-1+h)<0. Por consiguiente x=-1 es un máximo local y f(-1)=1. Igualando a cero el denominador de f'(x), obtenemos x=0. Es un punto crítico donde no existe derivada (f'(0)=+inf). Además se puede reconocer que es mínimo local f(0)=0, pues en el entorno (-h,h) tenemos que f(x)>=0. Los extremos absolutos se obtienen de entre los valores siguientes:
Conclusión: x=-4 es el punto mínimo absoluto (o extremo inferior) y x=1 el punto máximo absoluto (o extremo superior). b) Sea la función f(x)=x4/3+4x1/3, continua en [-4,1]. Para hallar los puntos críticos, estudiemos la derivada: f'(x)=(4/3)(x+1)x-2/3=4(x+1)/(3x2/3) Igualándola a cero obtenemos x+1=0 -> x=-1. Entonces x=-1 es un punto singular. Si x=-1-h, h>0 y arbitrariamente pequeño, f'(x)<0; si x=-1+h, f'(-1+h)>0. Por tanto en x=-1 hay un mínimo local y f(-1)=-3. Igualando a cero el denominador de f'(x) tenemos x=0. Es un punto crítico donde no existe derivada (f'(0)=+inf). Además f'(-h)>0 y f'(h)>0, luego la función es creciente en x=0 con tangente vertical (¿inflexión? Razónese verificando que en x=0 cambia la curvatura al observar el cambio de signo de la derivada segunda); f(0)=0 Los extremos absolutos se obtendrán de entre: f(-4)=0; f(-1)=-3; f(0)=0; f(1)=5 Conclusión: x=-1 es el punto mínimo absoluto (extremo inferior) y x=1 el punto máximo absoluto (extremo inferior) |
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||