Solución
a los ejercicios propuestos
1: Para ver con detalle esta función aumente el valor de escala lo suficiente. Para ver más campo de escena disminuya la escala. La función f(x)=x4-x3 está definida en R, es continua y derivable en todo el dominio. Para determinar los puntos singulares, igualamos a cero la derivada primera, f'(x)=4x3-3x2, 4x3-3x2=0 -> x2(4x-3)=0 -> x=0; x=3/4=0.75. Veamos de que naturaleza son los puntos. La derivada segunda podrá informarnos de esto: f''(x)=12x2-6x Para x=0 -> f''(0)=0 Para x=3/4 -> f''(3/4)=9/4=2.25>0 (Mínimo local) Estudiemos la derivada tercera f'''(x)=24x-6 para seguir discriminando la singularidad en x=0 Para x=0 -> f'''(0)=-6<0 (Inflexión). Además f(x) es decreciente. Los valores de f(x) en estas singularidades son: f(0)=0 -> Punto de Inflexión (0,0) f(3/4)= -1/4=0.105 -> Mínimo local (3/4,-1/4). Veamos la monotonía:
Para hacer un esbozo de la gráfica bastaría completar los datos obtenidos con la localización de los punto de corte con el eje de abcisas haciendo f(x)=0 -> x=0, x=1 y localizar el punto de inflexión que debe existir entre x=0 y x=3/4 puesto que hay un cambio de curvatura. Esta inflexión se encuentra en x=0.5 donde f''(0.5)=0; f(0.5)=-1/16=0.0625. |
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El programa Descartes adjunto, permite visualizar las gráficas de las funciones (1, 2, 3 y 4) y sus derivadas sucesivas (1, 2, 3 y 4). También permite obtener los valores de la función correspondiente a cualquier valor de la variable x en el dominio. El parámetro dec (número de cifras decimales) permite poner el número de decimales representados según nos convenga. Las entradas f(x) y g(x) son editables. Si ponemos función a 0 y reemplazamos f(x) o g(x) por expresiones, vemos su representación. |
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2: La función y sus derivadas sucesivas, continuas y derivables en el dominio R son: f(x)=x4; f'(x)=4x3; f''(x)=12x2; f'''(x)=24x; f''''(x)=24 Podemos comprobar que en x=0 se cumple: f(0)=f'(0)=f''(0)=f'''(x)=0; f''''(x)=24 > 0. Según esto, como el primer orden de derivación donde no se anula la derivada es n=4 (par), la función presenta un mínimo local. No habiendo más puntos singulares, podemos hacer el estudio de la monotonía y esbozar la gráfica.
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3: Sea
la función f(x)=Cos(x)-Sen(x) y sus derivadas sucesivas que son continuas
y derivables en (0, 2p) donde se ha definido.
Obsérvese que el programa representa la función en todo R, pero
solo debemos prestar atención en (0,2p).
f'(x)=-Sen(x)-Cos(x); f''(x)=-Cos(x)+Sen(x); f''(x)=Sen(x)+Cos(x) Los puntos singulares se obtiene haciendo f'(x)=0, de donde -Sen(x)-Cos(x)=0 -> Sen(x)=-Cos(x)-> x=p-p/4=3p/ 4; x=2p-p/4=7p/4 Si observamos el programa dónde se anula la derivada, comprobaremos los valores aproximados decimales x=2.36; x=5.5. Sustituyendo en f''(x), obtendremos los puntos extremos Para x=3p/ 4 -> f''(3p/4)=f''(2.36)=1.4142>0 (Mínimo) Para x=7p/ 4 -> f''(7p/4)=f''(5.5)=-1.4142<0 (Máximo) La siguiente tabla muestra la monotonía de la función
Para completar el estudio y hacer un esbozo de la gráfica, bastaría calcular los puntos de corte de f(x) con los ejes y también los valores en los extremos del intervalo 0 y 2p. |
4:
La función f(x)=(x2+1)ex,
es continua y derivable en todo el dominio R ya que se trata de
un producto de funciones continuas y derivables en R.
Como siempre calculemos las derivadas sucesivas de las que podemos extraer la información que necesitamos: f'(x)=(x+1)2ex; f''(x)=(x+1)(x+3)ex; f'''(x)=(x2+6x+7)ex; ... Puntos singulares: (x+1)2ex=0 -> x=-1, como f'(x) >0 para todo x distinto de -1, la función es estrictamente creciente en todo R. Para averiguar el tipo de singularidad que hay en x=-1, acudimos a la derivada segunda: f''(-1)=0 y a la derivada tercera: f'''(-1)=2/e > 0. Esto significa que la derivada segunda es creciente en x=-1 y f(x) cambia la curvatura de cóncava a convexa. Por tanto x=-1 es un punto de inflexión Para representar la gráfica necesitamos alguna otra información. Por ejemplo, los puntos de corte con los ejes, la percepción de otro punto de inflexión existente y la tendencia cuando x tiende a -inf y a +inf. Como es f(x) es estrictamente creciente y positiva, no corta al eje OX. Como el crecimiento, decrecimiento exponencial es más potente que el potencial, f(x)=(x2+1)ex tiende a 0 cuando x tiende a -inf (calcule el lector para hacerse una idea de la tendencia calculando f(-1000) p.e). La derivada segunda, también se anula para x=-3 y f'''(-3) = -0.09 < 0 nos informa que en x=-3 cambia la curvatura de la función f(x) de convexa a cóncava por ser f''(x) decreciente. |
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||