En el programa
siguiente puede comprobarse que con muy pocos elementos de cálculo, es
posible orientar la forma gráfica de la función y hacer un esbozo de
la misma. La
función que tomamos como modelo es la que se ha puesto de ejemplo
después del estudio teórico hecho en la columna de la derecha. En
una presentación de 6 pasos obtenemos: Paso
nº 1: Puntos de discontinuidad. Paso
nº 2: Puntos de corte con el eje OX Paso
nº 3: Punto de corte con el eje OY Paso
nº 4: Regiones, donde f(x)>0 y f(x)<0 Paso
nº 5: Ramas infinitas cuando x®± ¥ y
cuando x®2+, x®2-,
x®-2+,
x®-2-. Paso
nº 6: Esbozo de la gráfica.
|
En
el análisis de una función f(x), es interesante conocer el signo de la
función y donde ésta se anula.
Los puntos de corte con los ejes
coordenados son característicos y casi nunca renunciamos, cuando
tenemos que esbozar la curva, a representarlos ya que son puntos de paso
de una región a otra en el sistema de representación.
a) Corte con el eje OX:
Estos puntos se caracterizan por que la ordenada es nula, y=0.
Para hallarlos resolvemos la
ecuación f(x)=0. Hay tantos cortes como soluciones reales tenga la
ecuación.
b) Corte con el eje OY:
A lo más puede haber un corte. El punto de corte se
caracteriza porque la abcisa es nula, x=0, y al sustituir este
valor en la ecuación y=f(x) se obtiene y=f(0).
Si la función f(x) está definida
para x=0, es decir 0 pertenece al dominio Df, no puede
existir más que un valor f(0) ya que la función es una correspondencia
unívoca de Df en R ( a cada valor del dominio solo le
corresponde una imagen).
Si la función no está definida
para x=0, no hay corte con el eje OY.
c) Regiones: Nos interesan
las regiones de la función donde ésta es positiva, f(x)>0, o
negativa f(x)<0
Cuando tenemos que representar la
gráfica es de gran ayuda rayar las zonas donde no puede haber
representación y éstas estarán por encima o por debajo del eje OX, es
decir donde f(x)>0 y f(x)<0 respectivamente.
Cuando cambia el signo de la
función, está pasa por un corte en OX o por una discontinuidad.
El procedimiento para
determinar estas regiones es el que sigue:
1º Hacemos una tabla con
dos filas. En la primera representamos x , colocando ordenadamente: -¥,
+¥ puntos de corte con OX y puntos de
discontinuidad. En la segunda fila, debajo de esos puntos dibujamos una
raya vertical.
2º En la segunda fila
escribimos el signo que tiene f(x) en cada intervalo obtenido arriba.
Para ello basta evaluar el signo de un punto cualquiera de cada
intervalo.
Ejemplo:
Hallar las regiones de la
función ,
dibujando los puntos característicos: cortes con un punto lleno y
discontinuidades con un punto hueco.
- Discontinuidades: x2-4=0
-> x=2, x=-2.
- Dominio: R - {-2,2}
- Cortes OX: f(x)=0 -> x-1=0
-> x=1
- Corte con OY: x=0 -> f(0)=
1/4
- Regiones:
x |
-¥ |
(-¥,-2) |
-2 |
(-2,1) |
1 |
(1,2) |
2 |
(2,+¥) |
+¥ |
f(x) |
0 |
- |
¥ |
+ |
0 |
- |
¥ |
+ |
0 |
|