Ramas infinitas |
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Observar con Descartes El siguiente programa permite comprobar las propiedades asintóticas que presentan las 2 funciones de los ejemplos anteriores y además permite editar una función f(x) cualquiera y hasta dos asíntotas posibles de la misma (si fuera el caso) y=a_1(x)=mx+n e y=a_2(x)=m'x+n'. Esta última posibilidad será útil para verificar los resultados de los ejercicios que se proponen y que el/la estudiante deberá resolver analíticamente. Las funciones ejemplo se activan poniendo la entrada función a 1 o 2. Para editar otras funciones poner función a 0 y sobrescribir las entradas f(x) y a_1(x) ó a_2(x) (no borrar y=) por las expresiones admitidas por Descartes correspondientes a la función del ejercicio y su(s) asíntotas. Para visualizar correctamente los ejemplos hacer: Caso función=1: Rama izquierda: Escala=32, Ox=160, Oy=128 Rama derecha: Escala=56, Ox=-288, Oy=192 Caso función=2: Rama izquierda Escala=24, Ox=128, Oy=-32 Rama derecha: Escala=24, Ox=-224, Oy=320. Para comprobar la tendencia de la función, aumentar o disminuir el valor de la variable x. |
RAMAS INFINITAS CUANDO x® +¥ ó x® -¥ Cuando hacemos tender x a infinito (nos alejamos indefinidamente por el eje de abcisas a la derecha o la izquierda) la función puede tener distintos comportamientos: aproximarse cada vez más a una dirección (asíntota) ó parecerse a una rama de parábola, sin tender a una dirección como límite (rama parabólica). En las figuras de la izquierda se muestran algunos casos. Vamos a estudiar estos comportamientos. a) Asíntota horizontal: Si ó entonces la curva f(x) se aproxima a la recta y=l. Esta recta se dice que es una asíntota horizontal. Para saber si la aproximación a la asíntota es por arriba o por debajo, se estudia el signo que tiene f(x)-l cuando x®+ ¥ ó x®- ¥ Ejemplo: La función f(x)=(3x2-5x+1)/(x2-x-2) tiene por límite en el infinito el valor 3; y=3 es una asíntota horizontal. Para ver por donde se aproxima calculamos f(x)-3=(-2x+7)/(x2-x-2) que es negativa si x®+ ¥ y positiva si x®- ¥ : se aproxima por debajo, (f(x)-3)<0, cuando x®+ ¥ y se aproxima por arriba, (f(x)-3)>0, cuando x®- ¥ .
b) Asíntota oblicua Una función presenta una asíntota oblicua, y=mx+n, cuando x®+ ¥ si se dan las siguientes condiciones:
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Ejercicios: Obtener las asíntotas horizontales u oblicuas de las funciones siguientes y la posición respecto de la asíntota: | |||||||||
c) Ramas parabólicas
Si y , entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente: Ejemplo: f(x)=x2, f(x)=ex, f(x)=ex/x3 Si y , entonces tenemos una rama parabólica del tipo siguiente: Ejemplos: f(x)=Ö x , f(x)=ln(x)
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RAMAS INFINITAS CUANDO x®a Asíntotas verticales. Si entonces x=a es una asíntota vertical.. Si admitimos que está definida a ambos lados de la asíntota, pudiera ocurrir alguno de los cuatro casos siguientes: Para saber a que caso corresponde tenemos que calcular los límites por la derecha y por la izquierda de a. Criterio práctico: Si tenemos una función racional, de la forma f(x)= P(x)/Q(x), las asíntotas verticales se encuentran en los valores de x tales que Q(x)=0 y P(x)¹0.
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Para pensar: Aplicar los conocimientos adquiridos en esta página para identificar cada función con las mostradas en las siguientes escenas:
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Soluciones:
Asíntota horizontal: el límite para x® ±¥ es 1, por tanto y=1 es una A.H. Veamos la posición de la curva respecto de la asíntota, valorando el signo de f(x)-1=-2(x+1)/(x2+x+1)
es negativo para x® +¥ y es positivo para x® -¥ por tanto f(x) tiende a 1 por encima para x® -¥ y tiende a 1 por debajo para x® +¥ Asíntota oblicua: no tiene Asíntota horizontal: el límite para x® ±¥ es 1. Por tanto y= 1 es una A.H. Para ver la posición de f(x) respecto de la asíntota calculamos
Asíntota vertical: no tiene Asíntota oblicua: por ser el grado del numerador una unidad superior al del denominador tendrá asíntota oblicua y=mx+n La pendiente m de la asíntota es el límite para x ® ¥ de f(x)/x = x2/(1+x2). Como el límite es 1, la pendiente es m=1. El parámetro n es el límite para x ® ¥ de f(x) - mx=x3/(1+x2)-x=-x/(1+x2). Por tanto n=0. La asíntota es y=x Asíntota oblicua: el límite para x®+ ¥ ó x®- ¥ de f(x) +¥ . Por la derecha: f(x) tiene una asíntota por la derecha y=x+1 Por la izquierda: f(x) tiene una asíntota por la izquierda y=-x-1 Ahora veamos la posición de f(x) respecto de la asíntota Por la derecha: y para x arbitrariamente grande y positivo, la expresión es negativa: f(x) se aproxima por debajo Por la izquierda: como tratamos de evaluar para x arbitrariamente grande y negativo, equivale a evaluar cambiando x por -x para x arbitrariamente y positivo la expresión es negativa: f(x) se aproxima por debajo Por la derecha: el límite de f(x) cuando x® +¥ es 0. Para comprobarlo, multiplicar y dividir por la expresión conjugada, como hemos hecho en los ejercicios anteriores para calcular límites con radicales que presentan una indeterminación inicial del tipo ( ¥-¥) La función f(x) tiene una asíntota horizontal y=0 Por la izquierda: el límite de f(x) para x® -¥ equivale al límite de f(-x) para x® +¥. Este límite es -¥ por lo que es posible que encontremos asíntota oblicua por la izquierda: La función f(x) tiene una asíntota oblicua y=2x |
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||