Funciones trascendentes |
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Las funciones racionales y las
irracionales, que han sido tratadas en las páginas anteriores, se
denominan funciones algebraicas.
Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes. Son funciones trascendentales elementales
Hay otras funciones elementales como las hiperbólicas y las inversas de éstas y de las trigonométricas, pero no pretendemos en esta unidad didáctica presentarlas todas y más bien analizar algunos casos, no excesivamente complicados, donde intervengan las primeras. Debemos de tener en cuenta las siguientes observaciones para la hora de analizar las funciones trascendentes que se proponen en esta unidad didáctica:
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A modo de repaso, mostramos en el siguiente programa las gráficas de las funciones trascendentes elementales: ex, e-x y sus inversas respectivas ln(x), log1/e(x). Comprobar que las funciones inversas son entre sí simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes y=x. Analizar las posibles asíntotas y las ramas parabólicas que presentan. El/la estudiante podrá comparar las diferencias al editar exponenciales y logarítmicas con diferente valor de la base a, sustituyendo las entradas f(x), g(x) y h(x). Observar: La función ex se representa en el programa como exp(x) y la función ln(x) como log(x). Cualquier otra exponencial ax deberá darse como a^x y cualquier otra logarítmica loga(x) como log(x)/log(a). |
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En
el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de
la función f(x)=ex/x
que es
analizada en el ejemplo 1 (al margen derecho)
Variando el parámetro paso de 1 a 6 irán apareciendo en la escena los distintos elementos necesarios para poder dibujar la gráfica: Paso 1: Dominio Paso 2: Regiones Paso 3: Rama parabólica Paso 4: Asíntotas Paso 5: Monotonía y extremos Paso 6: Trazado de la curva Observación : El parámetro x permite recorrer la variable independiente en el dominio de la función en incrementos de 0.125. Pero puede introducirse directamente cualquier valor para x. El parámetro deriv es un conmutador de dos estados 0 y 1. Si deriv=1 se muestra el valor de la función f'(x) que permite comprobar:
La entrada editable y=g(x) permite ser reemplazada por cualquier expresión funcional y se visualiza su gráfica facilitando cualquier comprobación que se necesite a lo largo del análisis. Por ejemplo:
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Ejemplo
analizado 1
1: Analizar y representar la gráfica de f(x)=ex/x a) Dominio: El cociente no está definido para x=0, por tanto Df=R-{0} b) Cortes con los ejes coordenados:
c) Regiones:
d) Ramas infinitas:
e) Información de la derivada primera:
f) Información de la derivada segunda:
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En
el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de
la función f(x)=ln(x2+1) que es
analizada en el ejemplo 2 (al margen derecho).
Variando el parámetro paso de 1 a 8 irán apareciendo en la escena los distintos elementos necesarios para poder dibujar la gráfica: Paso 1: Dominio Paso 2: Regiones Paso 3: Cortes con los ejes Paso 4: Simetría Paso 5: Ramas parabólicas Paso 6: Monotonía y extremos Paso 7: Puntos de inflexión. Paso 8: Gráfica Observación: Tener en cuenta la utilidad de los parámetros de entrada x y deriv y de la expresión editable g(x) y las recomendaciones de uso que se hizo en el ejercicio anterior. |
Ejemplo
analizado 2:
Analizar y representar la gráfica de f(x)=ln(x2+1) a) Dominio: R pues x2+1 >0 para todo x b) Cortes con los ejes coordenados:
c) Simetría: Respecto del eje OY pues f(x)=f(-x) d) Regiones: Como x2+1 > 1, x¹0, se tiene que f(x) >0 e) Ramas infinitas:
f) Información de la derivada primera:
g) Información de la derivada segunda:
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En
el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de
la función f(x)=x+sen(x) que es
analizada en el ejemplo 3 (al margen derecho).
Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en la escena los distintos elementos necesarios para poder dibujar la gráfica: Paso 1: Dominio Paso 2: Regiones Paso 3: Cortes con los ejes Paso 4: Simetría respecto (0,0) Paso 5: Puntos singulares Paso 6: Puntos de inflexión Paso 7: Gráfica Observación: Tener en cuenta la utilidad de los parámetros de entrada x y deriv y de la expresión editable g(x) y las recomendaciones de uso que se hizo en los dos ejercicios anteriores. Para facilitar la lectura sobre la gráfica se han puesto las marcas de los valores múltiplos de p sobre el eje OX, el incremento del parámetro x se ha puesto en p/4
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Ejemplo
analizado 3:
Analizar y representar la gráfica de f(x)=x+sen(x) a) Dominio: R b) Cortes con los ejes:
c) Simetría: Respecto del origen (0,0) pues -f(x)=f(-x) d) Comportamiento en el infinito: Esta función tiene un comportamiento especial en el infinito que no hemos tratado aún.
no existe este límite pues sen(x) oscila entre -1 y 1. Si repasamos este comportamiento en el infinito, vemos que si m ó n no existen no hay rama parabólica. e) Información de la derivada primera: f'(x)=1+cos(x) f'(x)=0 si cos(x) = -1 y esto es cierto para x=(2k+1)p ; para cualquier otro valor de x, cos(x) > -1 y por tanto f'(x) >0, es decir la función f(x) es creciente en el dominio. No existen extremos relativos. f) Otras informaciones: f''(x)=-sen(x); f'''(x)=-cos(x) Para x=kp, f''(x)=0 y f'''(x) ¹ 0, luego estos son puntos de inflexión.
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Ejercicios:
Analizar y representar la gráfica de las siguientes funciones trascendentes:
El programa de la derecha permite ver la gráfica de las funciones anteriores y de alguna manera facilita la comprobación de los resultados que el/la estudiante obtenga del análisis. En el apartado de ayuda damos las expresiones de las funciones f'(x) y f''(x) |
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Ayuda:
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||