REPRESENTACIÓN DE CURVAS

FUNCIONES LOGARÍTMICAS

Representar la función:  y=ln(x2-1)

1) Dominio

  • El ln de x2-1 no existe desde -1 a 1, ya que sólo existe el logaritmo de los números positivos, luego la función está definida desde (-¥,-1) y desde (1,¥)

2) Cortes con los ejes

  • Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje.

    Con el eje OX: resolvemos la ecuación ln(x2-1)=0, es decir (x2-1)=1  resultando las soluciones x=-Ö2, y x=Ö2, luego los puntos de corte son (-Ö2,0) y (Ö2,0)

  • Veamos el signo de f antes y después de estos valores

x (-¥,-Ö2) -Ö2 (-Ö2,-1) [-1,1] (1,Ö2) Ö2 (Ö2,¥)
y + 0 -   - 0 +

3) Simetría

  • Se trata de una función PAR y por tanto simétrica respecto al eje de ordenadas.

  • Comprueba lo anterior cambiando el valor de x en la escena o arrastrando el punto rojo con el ratón. Observa como en el intervalo [-1,1] la función no alcanza ningún valor.

 

4) Asíntotas

  • VERTICALES, las rectas x=-1 y x=1 ya que

         

  • HORIZONTALES, no hay puesto que

  • En este caso tampoco hay OBLICUAS

  • Comprueba que cuando x®-¥  y®+¥; y que cuando x®+¥ y®+¥, y que además si x®-1- y®-¥ y también si x®-1+ y®-¥

 

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

  • Calculamos la derivada y'=2x/(x2-1)

  • La ecuación: 2x/(x2-1)=0 tiene como solución x=0 que no pertenece al dominio de la función, por lo que ésta no tendrá extremos relativos.

  • Ahora bien:

    • Si x<-1 f'(x)<0

    • Si x>1  f'(x)>0

    luego la función es decreciente antes de -1 y creciente después de 1.

x (-¥,-1) [-1,1] (1,¥)
y' -   +
\ /

  • Introduce la expresión de f'(x) y pulsa ENTER, se dibujara f', comprueba que efectivamente es negativa si x<-1, y positiva si x>1. Considera que la función no está definida en [-1,1].

 

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

  • Calculamos la segunda derivada y''=(-2x2-2)/(x2-1)2

  • Observamos que la ecuación  y''=0 no tiene soluciones reales por lo que la función no tendrá puntos de inflexión. 

  • Por otra parte y''<0 para cualquier valor de x, luego siempre es cóncava hacia abajo.

x (-¥,-1) [-1,1]

(1,¥) 
y'' -   -
Ç Ç

  • Puedes introducir la expresión de f''(x) y se dibujará (recuerda que  en este caso no está definida en [-1,1]), comprueba que es negativa.

  • También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena

 

7) Dibujar la gráfica

  • Resumir en una tabla los resultados anteriores ayudará a reflejarlos en la gráfica

x ®-¥ -Ö2 ®-1- [-1,1] ®1+ Ö2 ®¥
y ®+¥ 0 ®-¥   ®-¥ 0 ®+¥
y' -   +
y'' -   -
\ /
Ç Ç

  • En la escena está resumida la información anterior. Da a "dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función.

 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Estudia y representa gráficamente las funciones logarítmicas:

1) f(x)=ln(x2+1)

2) f(x)=ln(x)/x

3) f(x)=xln(x)

  • Estudia y representa las funciones anteriores en tu cuaderno, luego podrás podrás comprobar su gráfica indicando el número en la escena.

 

María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000