REPRESENTACIÓN DE CURVAS

ESTUDIO GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN

Información extraída de la función

Información extraída de la primera derivada

Información extraída de la segunda derivada

Representar la curva

A la hora de representar una función y=f(x) tenemos sobre todo tres fuentes de información:

• La misma función, a partir de su expresión algebraica podemos saber dónde está definida, los puntos de corte con los ejes coordenados y otros puntos, si tiene asíntotas o no...

• La primera derivada, a partir de ella obtendremos toda la información relacionada con el crecimiento o decrecimiento de la función y los extremos relativos

• La segunda derivada nos ayudará a estudiar la curvatura que presenta y los puntos de inflexión.

Veamos a continuación los pasos a dar.

1) Dominio

• Conjunto de números reales que tienen imagen, es decir, donde está definida la función. 

2) Cortes con los ejes y signo de f(x)

• Con el eje OY: hacemos x=0 en la fórmula de la función y calculamos el valor de y resultante.

• Con el eje OX: aquí debe ser y=0, luego resolvemos la ecuación f(x)=0 

• Estudiar el SIGNO de f(x) puede servirnos para determinar las regiones donde se dibujará la gráfica. Consideramos los intervalos determinados por los puntos de corte con el eje OX y los puntos de discontinuidad si los hubiera, y estudiamos el signo de la función en cada uno de ellos.

• Escribe el dominio de la función de la figura

• ¿En qué puntos corta a los ejes coordenados?

• ¿En qué intervalos f(x)>0?, ¿dónde es f(x)<0?

• Da a función? valor 2, se dibujará otra función. Contesta a lo mismo para ella.

3) Simetría y periodicidad

• Una función y =f(x) es PAR si f(-x)=f(x). En este caso la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas

• Una función y=f(x) es IMPAR si f(-x)=-f(x). En este caso es simétrica respecto al origen.

• Una función es PERIÓDICA de periodo P si f(x+P)=f(x). Su gráfica se repite cada cierto intervalo de amplitud P.

• Da a función? valor 1, comprueba, cambiando el valor de la x, que la función que se dibuja es IMPAR. Observa la simetría respecto a O.

• Si das a función? valor 2 se dibujará otra función, ¿es PAR o IMPAR?

4) Asíntotas

• VERTICALES

  Si la recta x=a es asíntota vertical.

• HORIZONTALES

  Si la recta y=b es asíntota horizontal.

• OBLICUAS

  Cuando puede haber asíntota oblícua,
  la recta y=mx+n, donde

            

• Comprueba, cambiando el valor de x, que cuando x®-1 y cuando x®1, y®¥.  ¿Cuáles son las asíntotas verticales?. ¿Qué ocurre cuando x®¥ ó cuando x®-¥?,

• Da a función? valor 1, ¿qué asíntotas tiene esta función?, escríbelas.

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Consideramos los intervalos determinados por las soluciones de f''(x)=0 y los puntos de discontinuidad

• Si f''(x)>0 en (a,b) la función presenta su concavidad hacia arriba (È), es CONVEXA  en (a,b)

• Si f''(x)<0 en (a,b) la función presenta la concavidad hacia abajo (Ç), es CÓNCAVA en (a,b)

• Si f''(x)=0 en x₀ y además la función cambia su concavidad hay un PUNTO DE INFLEXIÓN en  x₀

• En la escena está representada f''(x),¿para qué valores de x es f'(x)>0?, ¿para qué valores es f'(x)<0?,¿dónde se hace 0?, ¿hay punto de inflexión?

• Si das a función? valor 1 se dibujará f y podrás comprobarlo.

7) Dibujar la gráfica

• Distinguir en el plano coordenado las zonas en las que la función no está definida y las regiones en que se dibujará, a partir del dominio y del signo. Considerar la simetría si existe.

• Dibujar las asíntotas y averiguar en el caso de las horizontales y oblicuas si la función se aproxima por encima o por debajo de la recta, y en el caso de las verticales si tiende a -¥ ó +¥

• Situar los extremos relativos y los puntos de inflexión

• Completar la gráfica teniendo en cuenta el crecimiento o decrecimiento y la curvatura, y haciéndola pasar por los puntos ya conocidos. En ocasiones, si los datos obtenidos no resultan suficientes, siempre podemos ampliarlos con una tabla de valores.

• Resumir la información en una tabla nos ayudará a reflejarla en la gráfica. A la vista de la gráfica completa la tabla en tu cuaderno.

• Da a función? valor 1 y escribe una tabla semejante para la función representada ahora.