REPRESENTACIÓN DE CURVAS

FUNCIONES IRRACIONALES


Representar la función:  y=Öx2-1

1) Dominio

  • La raíz cuadrada de x2-1 no existe entre -1 y 1, luego la función está definida en (-¥,-1] È [1,¥)

2) Cortes con los ejes y signo

  • Con el eje OY: cuando x=0 la función no está definida luego no tiene corte con este eje.

  • Con el eje OX: resolvemos la ecuación x2-1=0 resultando las soluciones x=-1, y x=1 luego los puntos de corte son (-1,0) y (1,0)

  • En este caso f(x)>0 para todo x del dominio

3) Simetría

  • Se trata de una función PAR ya que
    f(-x)=
    Ö(-x)2-1=Öx2-1=f(x)
    por tanto es simétrica respecto al eje de ordenadas.

 

  • Comprueba lo anterior cambiando el valor de x en la escena o arrastrando el punto rojo con el ratón. Observa como en el intervalo (-1,1) la función no alcanza ningún valor.

 

4) Asíntotas

  •  VERTICALES, no hay

  • HORIZONTALES, no hay

  • OBLICUAS, la recta y=x, y por simetría la recta y=-x

  • Comprueba que cuando x®-¥  y®+¥; y que cuando x®+¥ y®+¥, y que además el valor de y se aproxima más al de x (o a -x) cuando mayor (o menor) es éste. 

 

5) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

  • Calculamos la derivada y'=x/Öx2-1

observando que no tiene soluciones dentro del dominio de definición de la función. Luego no habrá máximos ni mínimos.

  • Por otra parte

    • Si x<-1 y'<0 luego f es decreciente en (-¥,-1)

    • Si x>1 y'>0 luego f es creciente en (1,¥)

x (-¥,-1) [-1,1] (1,¥
y' -   +
\ /
  • Introduce la expresión de f'(x) y pulsa ENTER, se dibujara f', comprueba que efectivamente es negativa si x<-1, y positiva si x>1.

 

6) Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

  • Calculamos la segunda derivada y''=-1/(Öx2-1)3

  • Observamos que la ecuación  y''=0 no tiene soluciones reales por lo que la función no tendrá puntos de inflexión. 

  • Por otra parte

    • Si x<-1, y''<0

    • Si x>1, y''<0

    Por tanto la función presenta la concavidad hacia abajo.

x (-¥,-1) [-1,1] (0,¥
y'' -   -
Ç Ç
  • Puedes introducir la expresión de f''(x) y se dibujará.

  • También puedes comprobar los resultados cambiando el valor de x en la escena

 

7) Dibujar la gráfica

  • Podemos resumir en una tabla los resultados anteriores a la vez que los reflejamos gráficamente

x -¥ -1 (-1,1) 1 +¥
y A.O: y=-x 0   0

A.O: y=x

y' -   +
y'' +   +
\ /
Ç Ç
  • En la escena está resumida la información anterior. Da a "dibujar?" valor 1 para ver la gráfica de la función.

 


EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Estudia y representa gráficamente las funciones irracionales:

1) f(x)=Öx2+1

2) f(x)=2/Öx2+1

3) f(x)=x/Ö4-x2

  • Estudia y representa las funciones anteriores en tu cuaderno, luego podrás podrás comprobar su gráfica indicando el número en la escena.

 


María José García Cebrian

 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000