MONOMIOS Y POLINOMIOS
Valor numérico de una expresión algebraica
Operaciones con monomios:
Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones.
Ejemplo 1.- Expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular.
| -------------- ------------ |
Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho, obtendremos:
----------------Perímetro: 2x + 2y ; -------- ----ArÁrea: xy
Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el signo de la multiplicación acostumbra a no ponerse).
Otras expresiones algebraicas podrían ser:
Suma de cuadrados:
a2
+ b2
Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y
Suma de varias potencias de un número: a4
+ a3 + a2
+ a
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebráica se sustituyen las letras por número y se realiza la operación indicada se obtiene un número que es el "valor númerico" de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.
En el ejemplo 1, si el largo del terreno fueran 50 m ( a = 50) y el ancho 30 m (b = 30), el valor numérico de:
Perímetro = 2 · 50 + 2 · 30 = 100 + 60 = 160 m
Área = 50 · 30 = 1500 m2
Naturalmente debe observarse que el valor numérico de una expresión algebraica no es único sino que depende del valor que demos a las letras que intervienen en ella.
Ejercicio 1.- Calcular el valor numérico de la expresión algebraica a2 - 2ax + 4 en los casos:
a) a = 2 ; x = 3
b) a = -2 ; x = 1
Obsérvese en la siguiente escena la expresión y su valor numérico en el caso a).
Cambiar los valores de a y x para obtener el valor numérico en el caso b) y cualquier otro caso que se desee.
Si se observan las siguientes expresiones algebraicas se verá que en ellas aparecen distintas operaciones:
Ejemplo 2.- 1) 3ax ; 2) -2xy2 ; 3) 8ab3x ; 4) 3ax - 2y ; 5) x2 + 2x - 4
En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que en a 4) y la 5) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no. Podemos decir por tanto que:
Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural.
Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las letras. Normalmente se coloca al principio. Si es un 1 no se escribe y nunca es 0 ya que la expresión completa sería 0. En los tres ejemplos de monomios anteriores los coeficientes son 3 ; -2 ; y 8 respectivamente.
Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras. De este modo los tres monomios anteriores serán: 1) de grado 2. 2) de grado 3 . 3) de grado 5 (como es sabido cuando el exponente es 1 no se escribe).
En la escena siguiente se puede observar el coeficiente y el grado de un monomio. En la parte superior se pueden cambiar los exponentes de las letras (hemos a los exponentes de a, b y x expa, expb, expx, dejando el exponente de y fijo e igual a 1) para cambiar el grado y en la parte inferior de la escena el coeficiente del monomio (coef).
" En todas las escenas del tema vamos a suponer que los coeficientes de los monomios no pueden ser menores que -9 para favorecer la presentación de la escena"
"En la mayor parte de los casos los monomios que se utilizarán serán más simples ya que sólo estarán formados por una letra, normalmente la x, el exponente correspondiente que será el grado del monomio y un coeficiente".
Por ejemplo: -2x2 ; 3x ; -5x3 ; x5 son cuatro monomios de grados 2, 1, 3 y 5 respectivamente.
"Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros ( por ejemplo 0,6 ; 1/2 ; -5/6 etc) aunque normalmente serán enteros y así lo vamos a suponer en este tema"
Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas letras con los mismos exponentes.
Ejemplo 3.- Son monomios semejantes: 2ax4y3 ; -3ax4y3 ; ax4y3 ; 5ax4y3
Mientras que por ejemplo no son semejantes a los anteriores: axy3 ; 3a2x4y3 ; 2bx4
Por tanto " Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente"
En la escena del apartado anterior, si no se modifican los valores de la parte superior de la misma, modificando los de la parte inferior se obtienen monomios semejantes. Observar que los monomios semejantes tienen el mismo grado.
Observar las siguientes operaciones:
Ejemplo 4.- 1) 5ax4y3 - 2ax4y3 = 3ax4y3
2) 4ax4y3 + x2y
En el primer caso la resta de monomios se puede realizar mientras que en el segundo caso la suma no.
En el primer caso se trata de monomios semejantes y en el segundo no. Por tanto:
Para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia, según el caso, de los coeficientes.
Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el resultado es un polinomio como veremos en este tema.
Ejercicio 2.- Calcula la sumas de los monomios que se indican:
a) 2ax4 - 3ax4 + 5ax4
b) 2x3 - x + x3 + 3x3 +2x
- El primer caso a) es el que se puede observar en la escena siguiente. Se pueden cambiar los coeficientes (c1, c2, c3 respectivamente) y observar otros resultados.
- En el caso b) obsérvese que no todos los monomios son semejantes entre sí. Se deben sumar los que lo sean.
(Solución: 6x3 +x )
Para multiplicar monomios se debe recordar el producto de potencias que, como sabemos se puede realizar si tienen la misma base. Por ejemplo 5x2 · 3x4 = 15x6 ya que:
"Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes"
Con ello, para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno entre si y las potencias que tengan la mima base de cada uno, dejando las de distinta base como estén.
Ejemplo 5 .- Calcular el producto de los siguientes monomios: 4ax4y3 · x2y · 3ab2y3 . Se procede:
a) Se multiplican los coeficientes: 4, 1 y 3 respectivamente. Resultado: 12
b) Se multiplican todas las potencias de base a. Resultado: a2
c) Se multiplican todas las potencias de base b. Resultado: b2
c) Se multiplican todas las potencias de base x. Resultado: x6
d) Se multiplican todas las potencias de base y. Resultado: y7
Resultado final: 4ax4y3 · x2y · 3ab2y3 = 12a2b2x6y7
Ejercicio 3.- Calcular el producto de los monomios siguientes: 2ax2 · (-3a3x) · 5y4x3
Obsérvese el resultado en la siguiente escena. Puede observarse que el exponente 1 en la escena aparece escrito, aunque habitualmente no se escribe.
Ejercicio 4.- Plantear otra suma de monomios semejantes a los tres anteriores. Cambiar los valores de los coeficientes y los exponentes y calcularla.
En la escena anterior se puede cambiar el valor de los coeficientes en la parte inferior (siempre con un valor mínimo de -9) y el de los exponentes en la parte superiorde la escena (siempre con un valor mínimo de 1 ya que sino no serían monomios).
Dos monomios no siempre se pueden dividir. Observarlos siguientes ejemplos:
Ejemplo 6.- a) 4ax4y3 : 2x2y , -----------------------------b) 6x4y : ax3
En el primer caso a) se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del dividendo entre las del divisor, aunque en el divisor no esté la "a". Se obtendría como resultado a) 2ax2y2
En el segundo caso b), al no existir la "a" en el dividendo, no es posible la división.
Quizás se entienda mejor si expresamos la división como una fracción y la "simplificamos", restando los exponentes de las potencias de la misma base:
En el segundo caso b) obviamente no podemos hacer lo mismo al no poder simplificar la "a" del denominador.
"Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el divisor aparece una letra con una potencia mayor que en el dividendo. El resultado no sería un monomio pues quedaría, al restar los exponentes, un exponente negativo (recuérdese que los exponentes de las letras deben ser positivos)".
Ejemplo 7.- Si planteamos la división 2ax2 : (-3a3x), el resultado sería - 2/3 a-2 x . El coeficiente -2/3 es perfectamente válido aunque solemos usar coeficientes enteros, pero no así a-2ya que el exponente no es positivo.
Ejercicio 5.- a) Calcular la siguiente división de polinomios: 6a5x2 y : 2a3x
El resultado es el que se puede ver en la escena siguiente ¿este resultado es un monomio?.
(En lugar de los dos puntos ( : ) se ha usado el símbolo / para la división por necesidades del programa.)
b) Calcular ahora: 6a5x2 y : 3a6x ( ¿Es ahora el resultado un monomio? ¿Porqué? )
Escribir varios ejemplos con las mismas letras calculando los resultados y comprobándolos en la escena anterior.
Autor: Leoncio Santos Cuervo
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| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||
