LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES |
1.- DOMINIO DE
DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN
En esta escena están representadas dos funciones: f1: y = x2 +
8x + 15 y f2: y =
También puedes ver un punto P de la función polinómica f1 y un punto Q de la radical
f2, con sus respectivas coordenadas.
Con los botones inferiores puedes cambiar las abcisas de ambos puntos, viendo como cada
punto recorre su gráfica.
EJERCICIO 1 Escribe en tu cuaderno las respuestas a las siguientes preguntas, razonándolas con la ayuda de la escena: a) ¿Existe la función y = x2 + 8x + 15 para cualquier valor de x? b) ¿Qué ocurre cuando le das a x (Q.x) un valor negativo en
la función ?
¿Existe esta función para cualquier valor de x? |
Habrás podido deducir del ejercicio anterior que la función polinómica
y = x2 + 8x + 15 existe para cualquier valor de x, o sea podemos dar a x
un valor cualquiera y siempre se obtendrá un valor real de y. Decimos que esta función
está definida en todo R (números reales) o bien su dominio
de definición es R o (-¥,¥).
Sin embargo la función y = no existe cuando x es negativo, no podemos dar a x
valores negativos. Su dominio de definición es [0,¥).
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y = x2 + 8x + 15 |
y = |
Dominio de f | Þ | Df | = | conjunto de valores de x | tales que | f(x) existe o es un número real |
PRIMERA CONCLUSIÓN
Las funciones polinómicas tienen D=R
Las funciones con raíces cuadradas, o de índice par, no existen cuando el radicando es negativo.
1.1.- Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de primer
grado
El DOMINIO de las funciones serán los valores de x para los cuales ax+b³0 |
1.1.1.- Gráficamente
En esta escena está representada la función , y la función que aparece en el
radicando, o sea debajo de la raíz, y = ax +b
ax+b³0 | y=ax+b positiva | Þ | gráfica de y=ax+b encima eje X | Þ | EXISTE |
ax+b nº positivo | Þ | es nº real | |||
ax+b<0 | y=ax+b negativa | Þ | gráfica de y=ax+b debajo eje X | Þ | NO EXISTE |
ax+b nº negativo | Þ | no es nº real |
Fíjate bien en los valores de x que hacen que la función y=ax+b esté por encima del eje X,
para esos valores de x (dominio) existe la función Prueba distintos valores de
a y b que originarán distintas funciones , e intenta adivinar para qué valores de x existe
la función |
Y si das los valores a=-3 y b=5, verás que el DOMINIO de
la función
es D = (-¥, 5/3]
Analíticamente para hallar el DOMINIO de la función , se resuelve la inecuación ax+b³0, de donde se deduce el DOMINIO. |
Por ejemplo para hallar el DOMINIO de la función se procede así:
x-1 ³ 0 Þ x ³ 1 Þ a partir 1
hacia la derecha Þ D = [1, ¥)
Y para hallar el DOMINIO de la función así:
-3x + 5 ³ 0 Þ -3x ³ -5 Þ 3x £ 5 Þ x £ 5/3 Þ a
partir de 5/3 hacia la izquierda Þ D = (-¥, 5/3]
EJERCICIO 2
Calcula analíticamente en tu cuaderno el DOMINIO de las
siguientes funciones, comprobando tus resultados en la escena anterior:
a) b)
1.2.- Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de segundo
grado
El DOMINIO de las funciones serán los valores de x para los cuales ax2+bx+c³0 |
1.2.1.- Gráficamente
En esta escena está representada la función , y la función que aparece en el
radicando, o sea debajo de la raíz, y = ax2 +bx+c
ax2+bx+c³0 | y=ax2+bx+c positiva | Þ | gráfica de y=ax2+bx+c encima eje X | Þ | EXISTE |
ax2+bx+c nº positivo |
Þ | es nº real |
|||
ax2+bx+c<0 | y=ax2+bx+c negativa | Þ | gráfica de y=ax2+bx+c debajo eje X | Þ | NO EXISTE |
ax2+bx+c nº negativo |
Þ | no es nº real |
Fíjate bien en los valores de x que hacen que la función y=ax2+bx+c esté por encima
del eje X, para esos valores de x (dominio) existe la función Prueba
distintos valores de a, b y c que originarán distintas funciones |
EJERCICIO 3
Calcula en tu cuaderno el DOMINIO de las siguientes funciones,
representando previamente las funciones que aparecen debajo de la raíz, y comprobando tus
resultados en la escena anterior:
a) b) c)
d) e) f)
Analíticamente para hallar el DOMINIO de la función , se resuelve la inecuación ax2 +bx+c³0, de donde se deduce el DOMINIO. |
RESOLUCIÓN DE LA INECUACIÓN
ax2 +bx+c³0Primero hay que factorizar la función polinómica y=ax2+bx+c
Para ello se resuelve la ecuación ax2 +bx+c = 0 y se pueden dar tres casos:
A) La ecuación tiene dos soluciones reales distintas x1 y x2 ,
por tanto se anula en dos puntos, en los cuales la función cambia de signo.
La factorización será: y=ax2+bx+c = a (x-x1)(x-x2)
Se divide la recta real en tres intervalos (-¥,x1);
(x1,x2); (x2,¥)
suponiendo x1< x2
Y se estudia el signo del producto a (x-x1)(x-x2)
a través del de sus factores:
Solución de la inecuación ax2 +bx+c³0 | (-¥, x1] U [x2, ¥) |
DOMINIO de la función | (-¥, x1] U [x2, ¥) |
Solución de la inecuación ax2 +bx+c³0 | [ x1, x2 ] |
DOMINIO de la función | [ x1, x2 ] |
B)
La ecuación tiene una solución real doble x1 , por tanto se anula en un sólo punto, y en los demás la función tiene siempre el mismo signo.a>0 |
a(x-x1)2³0 | Solución inecuación ax2+bx+c³0 | R todos los nos reales | DOMINIO de la función | D=R |
a<0 |
a(x-x1)2£0 | x = x1 |
D=x1 |
C) La ecuación no tiene
solución real
y=ax2+bx+c no se factoriza, no se anula en
ningún punto, y la función siempre tiene el mismo signo.
a>0 | ax2+bx+c>0 | Sol.inecuación ax2+bx+c³0 |
R todos los nos reales | DOMINIO de la función |
D=R |
a<0 | ax2+bx+c<0 | No hay solución real |
No existe la función |
, pues al final no
son tres casos, sino seis, pues de cada apartado
hemos sacado dos.
La mejor forma de tener claro el cálculo del DOMINIO de las funciones
es hacer el estudio analítico y a continuación el gráfico, para entender mejor cada
caso.
Resuelve detenidamente el ejercicio siguiente y te aseguro
EJERCICIO 4
Dadas las funciones:
a) b) c)
d) e) f)
Primero) Coges la primera y hallas
su DOMINIO analíticamente según las instrucciones dadas en el apartado 1.2.2
de esta unidad y que está más arriba en esta misma página.
Segundo) Introduces los valores de
a, b y c en la escena de más arriba y que pertenece al apartado 1.2.1
de esta misma página, para ver su DOMINIO gráficamente.
Tercero) Repite los aparatados
anteriores para las demás funciones.
Las seis funciones dadas corresponden a los seis casos posibles
que se pueden dar, pero no están en el mismo orden.
Autora: Ángela Núñez Castaín
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000 | ||