Antes de construir montañas rusas necesitaremos recordar algunos conceptos matemáticos que ya conoces.

I  Pendiente de una recta.

Para cualquier recta, que no sea vertical, se puede definir la pendiente de esa recta como el cociente de la diferencia entre las ordenadas de dos puntos cualquiera de la misma entre la diferencia de sus respectivas abscisas.

1.- Comprueba que la pendiente es independiente de la elección de Q. (Para cada caso varía la situación el punto Q arrastrándolo)

2.- Demuestra analíticamente que la anterior afirmación es cierta. (Observa la relación que hay entre los triángulos rectángulos que se forman). ¿Se puede extender este resultado si se considera un otro punto P cualquiera?

En estas condiciones se puede reformular la definición del concepto de pendiente como la variación de altura que hay que recorrer (positiva hacia arriba, negativa hacia abajo) para alcanzar la recta, cuando desde un punto de la misma se avanza una unidad en dirección horizontal positiva.

3.- Determina el cálculo del ejercicio anterior en términos porcentuales, esto es, ¿Cuántas unidades asciende o desciende la recta cuando horizontalmente se avanza 100 unidades?. Compara tus cálculos con las señales de circulación referidas al peligro de la proximidad de una pendiente pronunciada

4.- Deduce por qué las rectas verticales no tienen definida la pendiente

5.- Observa la relación que hay entre la pendiente de una recta y el ángulo que forma dicha recta con el eje de abscisas. Formula una tercera definición del concepto de pendiente de una recta.

6.- ¿En qué parte de las actividades de la introducción juegan un papel importante las pendientes?

II Derivada de una función en un punto.

Recordemos que la derivada de una función y=F(x) en punto x=x₀ se define como el número real resultado de calcular el límite del cociente incremental, esto es el cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable, cuando este último tiende a cero.

Cada uno de estos cocientes es la pendiente de la recta que pasa por (x₀, F(x₀)) y (x₀+h, F(x₀+h)) para cada valor de h elegido. Por lo que podemos establecer, bajo una interpretación geométrica, que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva (gráfica de la función) en el punto (x₀, F(x₀)).
 
 

7.- Calcula mediante la definición, la derivada de la función y=F(x) en el punto x₀=2. Comprueba los cálculos realizados con la pendiente de la recta tangente a f en el punto (2,f(2)).

8.- Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función F en el punto (2,F(2)).

9.- Observa la relación que existe entre el crecimiento y decrecimiento de la función y el signo de la derivada. ¿Qué ocurre cuando x₀= 0.

10.- Vuelve a pensar en la construcción de las montañas rusas. ¿La forma en la que lo hemos hecho se ajusta del todo a la realidad?. Observa el perfil verde que obtenemos. ¿Crees que una vagoneta se podría desplazar por él?. Observa los vértices puntiagudos que se obtienen cuando unimos dos piezas. ¿se te ocurre alguna forma de arreglarlo?

11.- Compara las piezas que tenemos con los triángulos que se forman al ir calculando los cocientes incrementales. ¿Si hiciéramos piezas con bases más pequeñas podríamos solucionar el problema 10?. ¿Cuánto más pequeñas?

III Función derivada.

Si una función y=F(x) es derivable en su dominio, es posible definir una nueva función, que llamaremos función derivada y que representaremos por y=F'(x), que asocie a cada número real del dominio x₀ la derivada de la función F en ese punto x₀

12.- Calcula la fórmula de la función derivada de la función F(x)=0.25x²-3 utilizando las reglas de derivación.

13.- Calcula los valores de F'(-1), F'(0) y F'(2) evaluando la función derivada. Compara con los procedimientos obtenidos con anterioridad.

14.- Calcula la fórmula de la función derivada de la función F(x)=0.25x²-3 utilizando la definición de función derivada en un punto, para cualquier punto genérico x del dominio.

15.- En la construcción de nuestra montaña. ¿Aparece en algún lugar una función parecida a la función derivada?. ¿En qué se diferencian?

IV El problema recíproco.

Dada una función y=f(x), se busca otra función F cuya derivada sea f. Es decir F'(x)=f(x). A esta función F se le llama primitiva de la función f.

16.- Observa como las rectas tangentes a una curva determinan la propia curva.  (Modifica el valor de x₀ utilizando las flechas). Compara los resultados obtenidos con la escena anterior.

17.- Reflexiona sobre los siguientes cuestiones

• ¿Cuál es la función cuya tasa de crecimiento es constante?
• ¿Cuál es la ecuación del movimiento cuya velocidad es constante?
• La tasa de inflación anual de un país ha sido durante varios años del 2%. ¿cómo es la función de los precios?

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001