3000
representa la restricción o
condición relativa a las calorías.PROGRAMACIÓN DE UNA DIETA PARA CEBAR ANIMALES
Se intenta programar una dieta con dos alimentos A y B.
Una unidad del alimento A contiene 500 calorías; una unidad de B contiene 500 calorías y 20 gramos de proteínas. La dieta requiere como mínimo 3000 calorías y 80 gramos de proteínas diarias. Si el precio de una unidad de A es 8 y de una unidad B es 12. ¿qué cantidad de unidades de A y de B se debe comprar para satisfacer las exigencias de la dieta a un costo mínimo?.
El esquema siguiente muestra las cantidades respectivas en forma ordenada.
| |
A | B | mínimo |
| Calorías | 500 | 500 | 3000 |
| Proteínas | 10 | 20 | 80 |
| Precio | 8 | 12 | ? |
Sean:
x el número de unidades del alimento A.
y el número de unidades del alimento B.
De acuerdo a esto, la inecuación 500x
+ 500y 3000
representa la restricción o
condición relativa a las calorías.
Igualmente,10x + 20y 80 corresponde a la
restricción referida a la cantidad de proteínas.
Además, se debe cumplir que x 0 e y 0, ya que en ningún caso la
cantidad de
alimentos A o B puede ser negativa.
Entonces,las restricciones del problema son:
1) 500x + 500y 3000
que equivale a
x
+ y 6
2) 10x + 20y
80 que equivale a
x
+ 2y
8
(La ecuación (1) se dividió por 500 y la (2) por 10)
Al graficar esta situación,
teniendo en cuenta que
x 0 e y
0, se obtiene:
La región en color verde es la intersección de los conjuntos solución de las inecuaciones planteadas y se llama región de soluciones factibles, ya que las coordenadas de cualquiera de sus puntos satisfacen las restricciones impuestas.
Pero no se ha considerado aún el precio posible de los alimentos. Si x e y son las cantidades de los alimentos A y B, respectivamente, y los precios son 8 y 12, entonces la función costo es:
F = 8x + 12y
Se puede probar que esta función se optimiza, en este caso tomando un valor mínimo, para aquellos valores de x e y que corresponden a un vértice en el gráfico.
Vértices Valor de la función costo
(0,6) x = 0; y = 6 F = 8 x 0 + 12 x 6 = 72
F = 72
(4,2) x = 4; y = 2 F = 8 x 4 + 12 x 2 = 32 + 24 = 56
F = 56
(8,0) x = 8; y = 0 F = 8 x 8 + 12 x 0 = 64
F = 64
De los tres valores de la función costo F, el mínimo es 56. Corresponde a x = 4 e y = 2, es decir, a 4 unidades de A y 2 unidades de B.
Tales cantidades de A y B proporcionan un total de calorías y proteínas de acuerdo a las exigencias planteadas.
4 unidades de A : 4 x 500 = 2000 calorías
2 unidades de B : 2 x 500 = 1000 calorías
Total = 3000 calorías
4 unidades de A : 4 x 10 = 40 gramos de proteínas
2 unidades de B : 2 x 20 = 40 gramos de proteínas
Total = 80 gramos de proteínas
El costo mínimo para lograr esto es 56. Con esta cantidad ,se puede adquirir 4 unidades del alimento A y 2 del B.