Solución matemática

Resolver un problema por medio de tanteos (lo hacemos practicando con la escena) es útil y nos ayuda a entenderlo, pero la verdadera comprensión y la belleza de la solución se logran cuando aplicamos la maravillosa herramienta de las matemáticas. ¡Estudia este ejemplo!

Variando el ángulo con que aplicamos la fuerza de tracción (de valor constante) varían las componentes (Fx, Fy) y al hacerlo varían igualmente N, y la fuerza de rozamiento.

Existe un ángulo para el cual la fuerza de arrastre es máxima y por lo tanto le comunica al bloque una aceleración máxima.

Tenemos:

Fx= F·cos a
Fy = F·sen a
S Fy =0; por lo tanto: N= Peso - Fy

Fr máx = m· N
S Fx = m·a

Por lo tanto
F·cos a - m· N = m·a
F·cos a - m· ( Peso - F·sen a ) = m·a
Despejando la aceleración:
a = [F·cos a - m· ( Peso - F·sen a )] / m

Tenemos una función matemática, la aceleración, en función de una serie de constantes (fuerza con que tiramos, peso y coef. rozamiento) y de una variable, el ángulo.

Será condicón del máximo de una función que su primera derivada sea cero. Derivando respecto al ángulo (derivada de un cociente) tenemos:
a´= [(-F·sen a + m· F·cos a) m ] / m²
Si a´= 0, entonces (-F·sen a + m· F·cos a) = 0

Por lo tanto:
F·sen a = m· F· cos a
tag a = m

La eficacia de arrastre la conseguiremos cuando la tangente del ángulo coincida con el coeficiente de rozamiento.