La función cuadrática en 10 pasos

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La función cuadrática en 10 pasos

A través de esta colección de 10 actividades relacionadas con las funciones cuadráticas el alumnado podrá:

Manipular los elementos de las parábolas y construirlas (pasos 1 al 4).

Cuadrática (1a)












(Paso 3)


Cuadrática (1b)











(Paso 4)



Manejar la ecuación básica de la función cuadrática (paso 5).

Cuadrática (2)














Manejar la ecuación canónica de la función cuadrática (paso 6).

Cuadrática (3)














Resolver ecuaciones de segundo grado (sin necesidad de usar la famosa fórmula) para encontrar los puntos de corte con los ejes (paso 7).

Cuadrática (4)














Encontrar la ecuación de cualquier recta tangente (paso 8).


Cuadrática (5)














Realizar todo lo anterior independientemente de la forma de la ecuación cuadrática (pasos 9 y 10).

Cuadrática (6)












(Paso 10)

Experiencias de aula

En la primera actividad se ve la relación que tiene la parábola, como lugar geométrico, con otros lugares ya conocidos. La aplicación escanea los puntos del plano asignando un color a cada uno. Ese color dependerá de las distancias a las que se encuentre cada punto del plano de otros elementos fijos (puntos o rectas). De esta forma, se genera un mapa que permite visualizar la relación entre esas distancias simplemente observando la variación de color.

En la segunda actividad se realiza paso a paso la construcción de la parábola entendida como el lugar geométrico formado por todos los puntos que distan lo mismo de un punto fijo (foco) y de una recta (directriz). Es una línea fronteriza entre todos los puntos del plano que están más cerca del foco que de la directriz y todos los puntos del plano que están más cerca de la directriz que del foco.

En la tercera actividad se exploran algunos de los elementos y características de la parábola. Se observa que todos los elementos quedan determinados una vez fijados el foco y la recta directriz.

En la cuarta actividad se comprueba que todas las parábolas tienen la misma forma, es decir, son semejantes. Para ello se recurre a la homotecia, una transformación en la que dado un punto K del plano, aleja o acerca en un mismo factor (k) todos los demás puntos a K. Para factores positivos, la homotecia provoca un zoom de acercamiento o alejamiento centrado en K, un cambio de la escala con la que vemos las cosas. Para factores negativos, provoca, además, una inversión de la figura.

En la quinta actividad se introduce una parábola particular en el sistema de coordenadas, colocando el vértice V en el origen (0, 0) y el foco en (0, 1/4). En esa posición podemos averiguar fácilmente la relación de dependencia de la ordenada Y respecto a la abscisa X de todos y cada uno de sus puntos, es decir, podemos hallar su ecuación. A partir de esa parábola básica, como sabemos que todas las parábolas con el mismo vértice y eje son homólogas respecto a ese vértice, encontramos rápidamente la ecuación de cualquier otra parábola de eje vertical con vértice en el origen. Se verá que cualquier parábola con vértice en el origen y eje vertical queda determinada por un solo número (parámetro) "a".

En la sexta actividad se parte del conocimiento de que una función cuadrática del tipo y = a x2 tiene por gráfica una parábola con vértice en el origen y eje vertical, donde el coeficiente "a", en valor absoluto, es el inverso de la longitud del lado recto y su signo indica la orientación de la parábola. Una simple traslación del vértice permite ahora generalizar la función cuadrática obteniendo la forma canónica de su ecuación: y = a (x - x0)2 + y0. De esta forma, la función cuadrática queda determinada por tres parámetros: el coeficiente "a", y las coordenadas x0 e y0 del vértice.

En la séptima actividad se parte de la forma canónica de la ecuación de la función cuadrática para realizar el cálculo de las raíces de la función y los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas

En la octava actividad se resuelve el problema concreto de encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función cuadrática y = (x-2)2 + 1 en un par de puntos distintos de la parábola.

En la novena actividad, desarrollando la expresión canónica se obtiene la forma general: y = a x2 + b x + c. Se estudia también cómo recuperar la forma canónica a partir de esta forma general, lo que permite seguir calculando las raíces y las ecuaciones de rectas tangentes. La aplicación muestra en todo momento la ecuación de la parábola en las dos formas, canónica y general. Se puede mover el vértice, el foco y el punto P de tangencia.

En la décima actividad se ve el modo de escribir la ecuación en función de las raíces (cuando las tenga) que se denomina forma factorizada de la ecuación de la función cuadrática: y = a (x - x1) (x - x2). Se estudia también cómo recuperar la forma canónica a partir de esta forma factorizada. La aplicación muestra en todo momento la ecuación de la parábola en las dos formas, canónica y factorizada y se pueden mover el vértice, el foco y el punto P de tangencia.

Si usas este recurso para trabajar con tu alumnado podrías dejar tu experiencia aquí. De este modo, serás un guía en el camino a la introducción de las TIC en el aula de matemáticas por parte otros compañero/as.

Podrás ayudarte de este guión, que por supuesto puedes ampliar o modificar, para contarnos tu experiencia.

1. Título de la experiencia
2. Herramientas TIC utilizadas
3. Año de realización del trabajo
4. Número de alumno/as intervinientes/participantes
5. Tiempo (duración) de la actividad
6. Desarrollo/Explicación de la actividad, siendo preferible un enlace a alguna 
web donde el profesor que la ha llevado a cabo la comente.

Prácticas innovadoras

¿Qué añadirías o modificarías para ampliar la funcionalidad y mejorar los recursos presentados en este artículo?

Aporta ideas de cómo y dónde podrías trabajar este apartado.


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