La escalera de los bomberos

Cuando los bomberos acuden a un edificio es muy habitual que utilicen sus escaleras desplegables para ascender, desde el exterior, a las diferentes partes del edificio. Para ello han de fijar un determinado ángulo de elevación y, a continuación, extender la escalera hasta conseguir alcanzar el punto deseado.

 

En esta aplicación vamos a manejar uno de estos vehículos. Mediante el deslizador horizontal que se encuentra en la parte superior izquierda de la ventana puedes fijar el ángulo de inclinación de la escalera. Para extender y replegar la escalera es necesario mover el punto amarillo situado en su extremo. A su vez, puedes cambiar la posición del vehículo moviendo el punto situado en su parte inferior.

 

Una vez fijado un ángulo de inclinación, cuanto más extendamos la escalera mayor será la altura que alcanzamos. Pero, ¿qué relación hay entre la longitud de la escalera y la altura que ganamos? ¿Se mantiene constante esa relación para un determinado ángulo de inclinación? Vamos a tratar de investigarlo.

Lo sentimos, el applet de GeoGebra no pudo iniciarse. Por favor, asegúrate que en tu navegador se encuentra instalada y activada la versión 1.4.2 o superior de Java. (Haz clic aquí para instalar Java ahora.)

 

Preguntas

  1. Inclina la escalera un ángulo de 40º y activa la casilla Mostrar líneas auxiliares. Una vez girada la escalera, ¿qué altura alcanza su extremo con respecto a la base de la misma? Extiende ahora la escalera y anota, en varias posiciones más, la longitud de la escalera y la altura que alcanza el extremo con respecto a la base. Registra en la siguiente tabla los valores que vas obteniendo:

Ángulo de inclinación: 40º
Posición Altura del extremo de la escalera con respecto a la base (m) Longitud de la escalera (m) Razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera
1      
2      
3      
4      
5      
6      
7      
8      
  1. Completa ahora la tabla anterior calculando en cada caso la razón entre la altura del extremo de la escalera con respecto a su base y la longitud de la escalera (cuarta columna). ¿Qué observas? 

  2. Repliega ahora la escalera y fija el ángulo de inclinación en 20º. Repite el proceso que has seguido en los dos primeros ejercicios con este nuevo ángulo y completa la siguiente tabla:

Ángulo de inclinación: 20º
Posición Altura del extremo de la escalera con respecto a la base (m) Longitud de la escalera (m) Razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera
1      
2      
3      
4      
5      
6      
7      
8      

¿Qué observas al calcular la razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera?

  1. ¿Ocurrirá lo mismo para cualquier ángulo de inclinación que fijemos? Es decir, fijado un ángulo, ¿se mantendrá la razón entre la altura alcanzada y la longitud de la escalera? En caso afirmativo, ¿cuánto vale dicha razón si el ángulo es de 30º? ¿Y si el ángulo es de 45º?

  2. Haz clic en el botón Reinicia. Activa la casilla Mostrar triángulo. Observa el triángulo rectángulo ABC. Con respecto al ángulo B, en los ejercicios anteriores has calculado la razón entre su cateto opuesto AC y la hipotenusa BC. Dicha razón se llama SENO del ángulo B y, como has podido comprobar en los ejercicios anteriores, el valor no depende de la longitud de los lados del triángulo, sino solamente de la amplitud del ángulo B. Utiliza la aplicación para calcular el seno de los siguientes ángulos (algunos ya los tienes calculados en los ejercicios anteriores):

Ángulo (º) Seno Ángulo (º) Seno
10   50  
20   60  
30   70  
40   80  
45   90  
  1. Haz clic en el botón Reinicia. Activa la casilla Mostrar líneas auxiliares. Calcula la altura a la que se encuentra el punto P2 de la fachada con respecto al nivel de la calle (punto P0).

  2. Con un ángulo de inclinación de 40º y una longitud de escalera de 15 metros puedes alcanzar un punto de la fachada. ¿De qué punto se trata? ¿A qué altura está ese punto con respecto a la base de la escalera? ¿Y con respecto al nivel de la calle?

  3. ¿Podríamos calcular la altura de este punto conocida la longitud de la escalera (15 m) y el valor del seno de 40º, que ya has calculado en el ejercicio 5? En caso afirmativo haz los cálculos oportunos y comprueba tus resultados con los que has obtenido en el ejercicio anterior.

  4. Sabiendo que sen 60º=0.866 y que la altura del punto P4 con respecto a la base de la escalera es de 11.77 m, ¿qué longitud debe tener la escalera para alcanzar dicho punto? Haz los cálculos necesarios y comprueba tus resultados con la aplicación, moviendo para ello el camión hasta el punto adecuado.

  5. Calcula la altura del edificio (punto P5) con respecto al nivel de la calle.

  6. ¿Podríamos alcanzar el techo del edificio con un ángulo de inclinación de la escalera de 30º? En caso negativo, ¿qué longitud debería tener la escalera, como mínimo, para lograrlo?

  7. ¿Cuál es el mínimo ángulo de inclinación de la escalera con el que podemos alcanzar la altura del edificio?

 

 

 

 

 








 INICIO    Creative Commons License Ítem didáctico creado por José Luis Álvarez García.