Autodualidad tetraedro

Cada una de las 4 caras del tetraedro se corresponde con cada uno de sus 4 vértices, y viceversa. Esta correspondencia se denomina autodualidad. Decimos que el tetraedro es dual consigo mismo o autodual.


En esta actividad puedes observar cómo, mediante truncamiento, uno se convierte en el otro. En este proceso aparece otro poliedro semirregular, el tetraedro truncado:

1. Tetraedro    2. Tetraedro truncado    3. Octaedro    4. Tetraedro truncado    5. Tetraedro

 

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Preguntas

  1. Pulsa el botón de   Reproducir-Parar (hazlo siempre que desees animar o detener la animación; también puedes mover manualmente el deslizador inferior, con ayuda de las teclas + y - si deseas precisión). Observa primero el proceso completo (una vuelta entera). Cubre la tabla:
     

      Triángulos Hexágonos
    Tetraedro  20 0
    Tetraedro truncado    
    Octaedro    
  1. En cada vértice del tetraedro coinciden 3 triángulos: 3.3.3. A este código se le llama símbolo de Schläfli. Cuando el poliedro es regular, la notación se abrevia indicando el tipo y número de caras: 3.3.3 = {3, 3}. Completa la tabla:
     

      Símbolo de Schläfli
    Tetraedro  {3, 3}
    Tetraedro truncado  
    Octaedro  
  1. Gracias a la tabla anterior, sabemos cuántas caras comparten el mismo vértice. También sabemos que cada arista es compartida por dos caras. Por ejemplo, las 4 caras triangulares del tetraedro representan 4x3 = 12 vértices y 12 aristas, pero como cada vértice es compartido por 3 caras, resultan 12/3 = 4 vértices y como cada arista pertenece a dos caras, resultan 12/2 = 6 aristas. Cubre la tabla:
     

      Caras (C) Vértices (V) Aristas (A) C + V - A
    Tetraedro  4 4 6 2
    Tetraedro truncado       2
    Octaedro       2
  2. Activa las casillas Tetraedro y "Tetraedro dual" (actívalas y desactívalas a tu conveniencia) y explica cómo se realiza, a partir del tetraedro original, el proceso de truncamiento. ¿Por qué en todo el proceso todos los poliedros que aparecen tienen siempre alguna cara regular?

  3. ¿Qué relación hay entre los vértices del octaedro y las aristas del tetraedro? ¿Qué relación hay entre los vértices del octaedro (en pequeño) y las aristas del tetraedro?

  4. ¿Con qué puntos del tetraedro coinciden los vértices del tetraedro dual?

 



 

 

 

 

 

 








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