Dualidad dodecaedro - icosaedro

Cada una de las 20 caras del icosaedro se corresponde con cada uno de los 20 vértices del dodecaedro. A su vez, cada una de las 12 caras del dodecaedro se corresponde con cada uno de los 12 vértices del icosaedro. Esta correspondencia se denomina dualidad. Decimos que el icosaedro y el dodecaedro son duales entre sí.

En esta actividad puedes observar cómo, mediante truncamiento, uno se convierte en el otro. En este proceso aparecen otros poliedros semirregulares (entre ellos, el icosaedro truncado corresponde con el antiguo balón de fútbol):

1. Icosaedro    2. Icosaedro truncado    3. Icosidodecaedro    4. Dodecaedro truncado    5. Dodecaedro

 

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Preguntas

  1. Pulsa el botón de   Reproducir-Parar (hazlo siempre que desees animar o detener la animación; también puedes mover manualmente el deslizador inferior, con ayuda de las teclas + y - si deseas precisión). Observa primero el proceso completo (una vuelta entera). Cubre la tabla:
     

      Triángulos Pentágonos Hexágonos Decágonos
    Icosaedro 20 0 0 0
    Icosaedro truncado        
    Icosidodecaedro        
    Dodecaedro truncado        
    Dodecaedro 0 12 0 0
  1. En cada vértice del icosaedro coinciden 5 triángulos: 3.3.3.3.3. A este código se le llama símbolo de Schläfli. Cuando el poliedro es regular, la notación se abrevia indicando el tipo y número de caras: 3.3.3.3.3 = {3, 5}. ¿Qué relación hay entre los símbolos del icosaedro y del dodecaedro? Completa la tabla:
     

      Símbolo de Schläfli
    Icosaedro {3, 5}
    Icosaedro truncado 5.6.6
    Icosidodecaedro  
    Dodecaedro truncado  
    Dodecaedro  
  1. Gracias a la tabla anterior, sabemos cuántas caras comparten el mismo vértice. También sabemos que cada arista es compartida por dos caras. Por ejemplo, las 20 caras triangulares del icosaedro representan 20x3 = 60 vértices y 60 aristas, pero como cada vértice es compartido por 5 caras, resultan 60/5 = 12 vértices y como cada arista pertenece a dos caras, resultan 60/2 = 30 aristas. Cubre la tabla:
     

      Caras (C) Vértices (V) Aristas (A) C + V - A
    Icosaedro 20 12 30 2
    Icosaedro truncado       2
    Icosidodecaedro       2
    Dodecaedro truncado       2
    Dodecaedro 12 20 30 2
  2. Explica cómo se realiza, a partir del icosaedro original, el proceso de truncamiento. ¿Por qué en todo el proceso todos los poliedros que aparecen tienen siempre alguna cara regular?

  3. ¿Qué relación hay entre los vértices del icosidodecaedro y las aristas del icosaedro? ¿Qué relación hay entre los vértices del icosidodecaedro (en pequeño) y las aristas del dodecaedro?

  4. ¿Con qué puntos del icosaedro coinciden los vértices del dodecaedro? ¿Con qué puntos del dodecaedro coinciden los vértices del icosaedro (en pequeño)?

 



 

 

 

 

 

 








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