Dualidad cubo - octaedro

Cada una de las 6 caras del cubo se corresponde con cada uno de los 6 vértices del octaedro. A su vez, cada una de las 8 caras del octaedro se corresponde con cada uno de los 8 vértices del cubo. Esta correspondencia se denomina dualidad. Decimos que el cubo y el octaedro son duales entre sí.

 

En esta actividad puedes observar cómo, mediante truncamiento, uno se convierte en el otro. En este proceso aparecen otros poliedros semirregulares:

1. Cubo    2. Cubo truncado    3. Cuboctaedro    4. Octaedro truncado (sólido de Kelvin)    5. Octaedro

 

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Preguntas

  1. Pulsa el botón de   Reproducir-Parar (hazlo siempre que desees animar o detener la animación; también puedes mover manualmente el deslizador inferior, con ayuda de las teclas + y - si deseas precisión). Observa primero el proceso completo (una vuelta entera). Cubre la tabla:
     

      Triángulos Cuadrados Hexágonos Octógonos
    Cubo 0 6 0 0
    Cubo truncado        
    Cuboctaedro        
    Octaedro truncado        
    Octaedro 8 0 0 0
  1. En cada vértice del cubo coinciden 3 cuadrados: 4.4.4. A este código se le llama símbolo de Schläfli. Cuando el poliedro es regular, la notación se abrevia indicando el tipo y número de caras: 4.4.4 = {4, 3}. ¿Qué relación hay entre los símbolos del cubo y del octaedro? Completa la tabla:
     

      Símbolo de Schläfli
    Cubo {4, 3}
    Cubo truncado 3.8.8
    Cuboctaedro  
    Octaedro truncado  
    Octaedro  
  1. Gracias a la tabla anterior, sabemos cuántas caras comparten el mismo vértice. También sabemos que cada arista es compartida por dos caras. Por ejemplo, las 6 caras cuadradas del cubo representan 6x4 = 24 vértices y 24 aristas, pero como cada vértice es compartido por 3 caras, resultan 24/3 = 8 vértices y como cada arista pertenece a dos caras, resultan 24/2 = 12 aristas. Cubre la tabla:
     

      Caras (C) Vértices (V) Aristas (A) C + V - A
    Cubo 6 8 12 2
    Cubo truncado       2
    Cuboctaedro       2
    Octaedro truncado       2
    Octaedro 8 6 12 2
  2. Activa las casillas Cubo y Octaedro (actívalas y desactívalas a tu conveniencia) y explica cómo se realiza, a partir del cubo original, el proceso de truncamiento. ¿Por qué en todo el proceso todos los poliedros que aparecen tienen siempre alguna cara regular?

  3. ¿Qué relación hay entre los vértices del cuboctaedro y las aristas del cubo? ¿Qué relación hay entre los vértices del cuboctaedro (en pequeño) y las aristas del octaedro?

  4. ¿Con qué puntos del cubo coinciden los vértices del octaedro? ¿Con qué puntos del octaedro coinciden los vértices del cubo (en pequeño)?

 



 

 

 

 

 

 








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