Escalas logarítmicas

En ocasiones tenemos que representar gráficamente magnitudes con un rango de variación tan grande que un sistema de coordenadas cartesianas con escala aritmética, que es el que empleamos habitualmente, no permite apreciar claramente los detalles más relevantes de las magnitudes representadas. Los sistemas de representación digital que manejamos con el ordenador disponen generalmente de un potente zoom que nos permite tanto percibir con claridad los pequeños detalles de lo que tenemos representado como gozar de una representación de conjunto más amplia. Sin embargo, cuando es necesario utilizar una representación estática, por ejemplo sobre papel, ese efecto obviamente no funciona. En esos casos, si el rango de variabilidad es muy amplio es frecuente recurrir a escalas logarítmicas.

 

Cuando representamos una magnitud sobre una recta utilizando una escala logarítmica, lo que representamos no es propiamente la magnitud, sino el logaritmo de dicha magnitud. Por ello, si utilizamos logaritmos en base 10, que es lo más frecuente, un salto de una unidad en la escala logarítmica equivale a multiplicar por 10 el valor real de la magnitud. De ese modo, las marcas 1, 2, 3, que leemos en nuestra escala representarán realmente los valores 10, 100, 1000... de la magnitud representada. Esa es precisamente la gran ventaja de una escala logarítmica, ya que los logaritmos crecen mucho más despacio que los números a los que se aplican.

 

Las escalas logarítmicas son utilizadas en diversas áreas y situaciones. Un caso muy conocido es la escala Richter que utilizamos para clasificar los seísmos. Como la cantidad de energía que se libera en un seísmo es tan grande, Richter ideó la forma de calcularla indirectamente a partir de la amplitud de las ondas sísmicas en superficie, utilizando una escala logarítmica. Definió la magnitud M como: M = log A + C, donde A representa la amplitud de las ondas superficiales y C se calcula a partir de la distancia del observatorio al epicentro del seísmo y del periodo de las ondas registradas. Al tratarse de logaritmos decimales, nos podemos dar cuenta de que un seísmo de magnitud 7 en la escala de Richter es 100 veces más intenso que uno de magnitud 5. Podríamos decir que la energía que ha liberado un seísmo de magnitud 7 equivale a la energía liberada por 100 seísmos de magnitud 5 actuando simultáneamente.

 

Si utilizamos en un eje de coordenadas una escala logarítmica y en el otro eje una escala aritmética se dice que estamos en presencia de un sistema de referencia semilogarítmico.  Si en ambos ejes utilizamos escalas logarítmicas, el sistema de referencia es logarítmico.

 

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Preguntas

  1. Activa la casilla "Mostrar puntos". En el sistema cartesiano hay representados 9 puntos, 3 de color rojo, 3 de color azul y otros 3 de color verde. Sin embargo solamente vemos una pequeña parte del sistema. ¿Cuál es el rango de valores de la abscisa (x) que abarca la ventana? ¿Y el de valores de la ordenada (y)? Escribe las coordenadas de los puntos representados que quedan a la vista.

  2. Mueve el deslizador vertical a la posición "Zoom". Observa que ha aparecido una barra vertical que te permitirá variar la escala, aumentando (+) o reduciendo (-), de modo que podemos variar el rango de valores que abarca la ventana. ¿Cuál es el rango de valores de x con el máximo aumento? ¿Y con el mínimo? ¿Y el de y? Tomando como unidad de referencia en las escalas de los ejes el cm, ¿qué área abarca la ventana, en cm2, con el máximo aumento? ¿Y con el mínimo?

  3. Haz clic en el botón Reiniciar y selecciona nuevamente la posición "Zoom" con el deslizador vertical. Si consideramos que ahora la escala es 1:1, ¿cuál es la escala que utilizamos cuando utilizamos el máximo aumento? ¿Y con el mínimo?

  4. Activa la casilla "Mostrar puntos". Utiliza el zoom como consideres apropiado y escribe ahora las coordenadas exactas de los 9 puntos representados.

  5. Haz clic en el botón Reiniciar. Mueve el deslizador vertical a la posición "Logarítmica". Ahora usamos una escala logarítmica en ambos ejes. Utilizaremos solamente al primer cuadrante. ¿Qué rango de valores abarca ahora el eje horizontal? ¿Y el eje vertical? ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se cortan los dos ejes?

  6. Activa la casilla "Mostrar puntos". Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C y D.

  7. Escribe ahora las coordenadas de los tres puntos rojos. ¿Coinciden con las que habías obtenido para esos puntos en el ejercicio 4?

  8. Haz clic en el botón Reiniciar. Mueve el deslizador vertical a la posición "Semilogarítmica". Ahora usamos una escala logarítmica en el eje vertical y una escala aritmética en el eje horizontal. ¿Qué rango de valores abarcan ahora los ejes de coordenadas? ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde se cortan ambos ejes?

  9. Activa la casilla "Mostrar puntos". Escribe las coordenadas de los puntos A, B, C y D. ¿Coinciden con las que habías obtenido en el ejercicio 6? ¿Por qué ocurre eso?

  10. Desactiva la casilla "Mostrar puntos" y activa la casilla "Richter". En el eje horizontal representamos ahora el grado de la escala Richter, mientras que en el eje vertical se representa la energía equivalente, medida en kg de TNT. En la parte inferior de la ventana aparecen 8 puntos libres, nombrados como P1, P2, p3, ..., P8. Muévelos de modo que cada uno de ellos represente la situación que le corresponde en la siguiente tabla.

Punto Grado en la escala Richter Equivalencia energética (TNT) Descripción
P1 1.5 910 g Explosión de una bomba convencional de la 2ª guerra mundial
P2 2.0 6 kg Explosión de un tanque de gas
P3 2.5 29 kg Bombardeo de la ciudad de Londres
P4 3.5 455 kg Explosión de una mina
P5 4.0 6 t Bomba atómica de baja potencia
P6 5.0 199 t Terremoto de Albolote (Granada), 1956
P7 6.1 3000 t Terremoto de Managua (Nicaragua), 1972
P8 7.0 199000 t Terremoto de Puerto Príncipe (Haití), 2010
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