Divisores y primos

Decimos que 12 es un divisor de 60 porque al dividir 60 entre 12 la división es exacta, es decir, el resto es 0. Recíprocamente también diremos que 60 es un múltiplo de 12. Hay números, como el 60, que tienen muchos divisores. Ese es seguramente el motivo por el que en la antigua Babilonia se utilizó este número como como base de su sistema de numeración. Sin embargo hay otros números, como el 17, que solamente tienen como divisores a la unidad y al propio número: esto ocurre con los números primos. Llamamos números compuestos a los que tienen más de dos divisores, como sucedía, por ejemplo, con el 60. El número 1 no es ni primo ni compuesto.

 


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Los números primos fascinaron a muchos grandes matemáticos a lo largo de la historia y siguen desempeñando un papel fundamental tanto en las matemáticas como en la vida cotidiana, donde son la base en la que se apoyan los complicados sistemas de encriptación que se emplean actualmente para proteger datos importantes, como los códigos bancarios o las tarjetas de crédito.

 

En esta aplicación vamos a tratar de hallar los divisores de un número y a descubrir algunas propiedades interesantes de los números que tienen que ver con la divisibilidad.

 


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Preguntas

  1. Halla todos los divisores de 60. Cambia el valor de d, con el deslizador verde, y estudia la divisibilidad de 60 entre los números comprendidos entre 1 y 60. Cuando tengas todos los divisores comprueba tu resultado activando la casilla Mostrar los divisores de N.

  2. Busca ahora los divisores de los números de la primera columna de la siguiente tabla. Completa la tabla con los resultados que obtienes:

    Número Divisores Nº de divisores Primo o compuesto
    5      
    6 1, 2, 3, 6   Compuesto
    9      
    10      
    12      
    15      
    16      
    19      
    25      
    28      
    36      
    54      
    71      
    91      
  3. En la tabla anterior hay algunos números primos. Utiliza la aplicación para hallar todos los números primos menores que 50, que no aparecen en la tabla anterior.

  4. Observa que en la tabla de la pregunta 2 algunos números tienen exactamente 4 divisores. ¿Qué característica común tienen todos estos números? Escribe tus conclusiones, busca otros números que tengan exactamente 4 divisores y pon a prueba con ellos tus conclusiones.

  5. En la tabla que has completado en la pregunta 2 algunos números tienen un número impar de divisores. ¿Observas algo en común entre esos números? Escribe tus conclusiones y ponlas a prueba comprobando con la aplicación el número de divisores de otros números que creas que tienen las mismas características.

  6. Un número es perfecto cuando es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo el número 6 es perfecto porque 6 = 1 + 2 + 3. ¿Hay algún otro número perfecto en la tabla del apartado 2? Comprueba tu resultado activando la casilla Tipo de número.

  7. Cuando la suma de los divisores propios de un número es menor que el propio número se dice que el número es escaso o defectivo. Cuando dicha suma es mayor que el número, entonces el número es excesivo o abundante. Indica si los números de la tabla del apartado 2 son excesivos o abundantes.

  8. De un número sabemos que es menor de 100, es divisible por 2, 3 y 13, y además, es abundante. ¿De qué número se trata?








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