Teorema del valor medio

La hipótesis de este teorema es que contamos con una función F que es continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b).

 

La tesis del teorema es que, en tal caso, la derivada coincide con la pendiente media mF de F en [a,b] (tasa de variación media) en algún punto del intervalo (a,b).

 

El teorema de valor medio nos garantiza que, en esas condiciones, debe existir al menos un cierto valor x del intervalo (a,b) para el cual F'(x) = mF es decir, F'(x) = (F(b)-F(a))/(b-a). Pero solo nos asegura que tiene que haber ese valor, no nos dice nada sobre cómo encontrarlo.

 

Observa que como el intervalo es cerrado, tiene sentido hablar tanto de F(a) como de F(b). Veremos que este teorema es a la vez una generalización y una consecuencia del teorema de Rolle.

 

El teorema del valor medio es un resultado fuerte. Gracias a él podemos obtener información de la función F a partir de su función derivada F'. Por ejemplo, es fácil demostrar, usando este teorema, que si F'(x) es positiva en un intervalo, entonces F ha de ser creciente en ese intervalo.

 

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Preguntas

  1. Supongamos una función G continua en [a,b] y derivable en (a,b) y tal que G(a) = G(b) (hipótesis del teorema de Rolle). ¿Cuánto vale la pendiente media mG de G en [a,b]?

  2. Aplicando a G el teorema del valor medio, obtenemos que tiene que existir un valor x en el intervalo (a,b) tal que G'(x)=0. ¿Es esta la tesis del teorema de Rolle? ¿Por qué? ¿Es entonces el teorema de Rolle un caso particular del teorema del valor medio?

  3. La función F (verde) de la escena es continua en el intervalo [0,11] y derivable en (0,11). ¿Cuál es la diferencia entre los valores que alcanza F en los extremos a=0 y b=11?

  4. ¿Cómo aparece representada esa diferencia en la escena?

  5. Recuerda que mF = (F(b)-F(a))/(b-a). Al mover el punto azul, puedes ver cuánto ascendería la función F si conservase su pendiente constante. Observa que se forman dos triángulos en posición de Tales. Se deduce que mF = Δy/Δx, para cualquier valor de x en el intervalo [a,b]. ¿Por qué?

  6. Si a cada valor de F(x) le restamos lo que hubiera ascendido de media (Δy) obtenemos la gráfica de la función azul (que llamaremos H): H(x) = F(x) - Δy. Es decir, H(x) = F(x) - mF Δx.

    Como Δx = x-a, tenemos que H(x) = F(x) - mF (x-a).  ¿Cuál es el valor general de H en a? ¿Y en b?

  7. ¿Cuáles son los valores concretos H(0) y H(11) en la escena?

  8. ¿Cumple H la hipótesis del teorema de Rolle? ¿Por qué?

  9. Aplicando el teorema de Rolle a H, obtenemos que tiene que existir al menos un valor de x en (a,b) para el cual se cumple que H'(x) = 0. Esto coincide con la tesis del teorema del valor medio, que es lo que queríamos demostrar. ¿Por qué?

  10. Observa la recta discontinua, con pendiente igual a mF, es decir, paralela a la hipotenusa del triángulo rectángulo. ¿Qué relación hay entre el punto en donde esa recta es tangente a F y el punto en donde H corta a la hipotenusa? ¿Por qué? Ayúdate del punto azul para verlo mejor.

  11. Usa la casilla Variar perfil del menú Gráfica para proponer otros ejemplos en los que se verifique el teorema del valor medio.

  12. Desactiva la casilla Interpolación. Aparecerá la gráfica de una función que no cumple la tesis del teorema del valor medio. ¿Por qué? ¿Qué hipótesis no se cumple?

  13. Si en un viaje recorremos 100 km en una hora, podemos asegurar que en algún punto del trayecto hemos estado viajando exactamente a 100 km/h. ¿Por qué?

    De hecho, el teorema del valor medio sirve de fundamento lógico a los llamados radares de tramo. Veamos un ejemplo. Supongamos un tramo de 10 km donde la velocidad máxima permitida es de 120 km/h.

    Al comienzo del tramo, un radar identifica un vehículo, anota la hora exacta y envía esta información a otro radar situado al final del tramo. Este detecta que el tiempo que invirtió el vehículo en recorrer los 10 km fue de 4 minutos.

    Si su velocidad fuera constantemente de 120 km/h, hubiera tardado 5 minutos. Así que sabemos que ha superado el límite permitido. Pero esto no basta para conocer la sanción a aplicar, pues este cálculo no permite averiguar en cuánto ha excedido ese límite.

    Sin embargo, aplicando el teorema del valor medio, podemos asegurar que en algún instante ese vehículo tuvo que alcanzar los 150 km/h, por lo que se puede establecer que, como mínimo, ha sobrepasado en 30 km/h (un 25%) el límite permitido.

 

 

 

 

 

 

 

 








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