La derivada y el crecimiento

La derivada de una función en un punto nos indica el ritmo de cambio de la función en dicho punto. Una consecuencia inmediata es que la derivada nos va a permitir saber si la función crece o decrece en un punto determinado con solo atender al signo de la derivada. Si la derivada es positiva, la variación de la función es positiva, por tanto crece en el punto considerado. Por el contrario, si la derivada es negativa, la variación es negativa, por lo que la función decrece en el punto considerado.

 

Si conocemos la función derivada, el problema de la determinación de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función se reduce al estudio del signo de su función derivada. Los intervalos en los que la función derivada es positiva se corresponden con intervalos en los que la función primitiva es creciente. Los intervalos en que la función derivada es negativa se corresponden con intervalos en los que la función primitiva es decreciente.

 

Cuando la derivada en un punto es cero la tangente a la función en dicho punto es horizontal. Pero la tangente puede ser horizontal por diferentes motivos, por lo que interpretar una derivada nula resulta un poco más complejo que cuando es positiva o negativa. Así, puede ocurrir que estemos ante un máximo relativo o un mínimo relativo, o bien que se trate de un punto de inflexión de tangente horizontal o que simplemente se trate de un punto en el que la función es constante.

 

Los puntos de corte de la función derivada con el eje OX, es decir, los puntos donde se anula la función derivada nos informan sobre los puntos en los que la función primitiva tiene tangente horizontal y nos ayudan además a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

 

Si derivamos nuevamente la función derivada obtenemos la función segunda derivada. Ésta nos proporcionará información sobre la variación de la anterior, es decir, sobre la función primera derivada. Siguiendo un razonamiento análogo al que hemos seguido en párrafos anteriores, la segunda derivada nos permitirá conocer cuando la primera derivada es creciente o decreciente, lo que, a su vez, nos permite saber el tipo de curvatura de la función primitiva, es decir, en qué intervalos es cóncava o convexa. En consecuencia, la segunda derivada nos va a permitir determinar los intervalos en que la función es cóncava o convexa, así como los puntos de inflexión, que son los puntos en los que cambia el tipo de curvatura de la función.

 

En esta aplicación vamos a determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función y analizar el comportamiento de la función en los puntos en los que la derivada se anula. También determinaremos la curvatura de la función y los puntos de inflexión, si existen.

 

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Preguntas

  1. Mueve el punto amarillo a lo largo del eje OX y fíjate en cómo varía la pendiente de la tangente: observa cuando es positiva, negativa o nula.

  2. Completa la tabla siguiente. Cuando la hayas completado, activa la casilla "Mostrar el tipo de variación" y comprueba tus resultados.

     

    x signo de f'(x) Tipo de variación
    0 -   (f'(x)<0) decreciente
    0,5    
    1    
    1,5    
    2    
    3    
    4    
    5    

     

  3. Determina ahora los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función y sus extremos relativos (completa la tabla):

     

    Intervalo f'(x) f(x)
    (-inf, 1) -    (f'(x)<0) f(x) decrece
    x=1 0 Mínimo relativo
         
         
         
         
         
         

     

  4. Teniendo en cuenta el signo de la primera derivada en los intervalos que has considerado, así como los puntos en que se anula, que ya has obtenido en el apartado anterior, haz un esbozo en el cuaderno de la función derivada. Activa la casilla "Mostrar primera derivada" para comprobar tu resultado.

  5. Observa ahora la gráfica de la función derivada. Determina de forma aproximada los intervalos en que crece y decrece y completa la tabla siguiente. Indica también qué significado tienen esos intervalos en la función f(x) (indica el tipo de curvatura o, en su caso, si se trata de un punto de inflexión).

 

Intervalo f'(x) f(x)
(-inf, 1,8) crece Cóncava
x=1,8 máximo relativo Punto de inflexión
     
     
     
     

 

  1. Activa ahora la casilla "Mostrar segunda derivada".  ¿En qué intervalos es positiva la función segunda derivada? ¿En qué intervalos es negativa? ¿Para qué valores de x se anula? ¿Qué relación tienen estos resultados con lo que has estudiado en el apartado anterior? Completa ahora la tabla:

Intervalo f''(x) f(x)
(-inf, 1,8) +  (f"(x)>0) cóncava
x=1,8 0 Punto de inflexión
     
     
     
     

 

  1. Haz clic en para volver al estado inicial de la aplicación. Cambia ahora la función por f(x) = 3x5 - 5x3 (En la casilla de entrada escribe: 3x^5-5x^3). Utiliza la aplicación para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función, así como su concavidad y convexidad. Determina también sus extremos relativos y sus puntos de inflexión. Completa las tablas siguientes:

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos relativos.
Intervalo f'(x) f(x)
     
     
     
     
     
     
     
     

 

Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión
Intervalo f''(x) f(x)
     
     
     
     
     
     

 

  1. Para cada una de las siguientes funciones, estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como su concavidad y convexidad. Determina también sus extremos relativos y sus puntos de inflexión. Primero haz el estudio con lápiz y papel. A continuación comprueba tus resultados utilizando la aplicación.

    1. f(x)=x3+3x2   [en la casilla de entrada escribe x^3+3x^2 ]

    2. f(x)= ln x    [en la casilla de entrada escribe ln(x) ]

    3. f(x)=ex (x-2)    [en la casilla de entrada escribe exp(x) (x-2) ]

    4.    [en la casilla de entrada escribe x^3/(3 (x+1)) ]

    5.     [en la casilla de entrada escribe (x^2+1)/(x^2-1) ]

 

 








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