INFORME DE EVALUACIÓN DE LA EXPERIENCIA

Álgebra

2º BACHILLERATO / CIENCIAS DE LA SALUD - TECNOLOGÍA

Coincidiendo con el inicio del segundo trimestre, tuvo lugar la experimentación en aula de la unidad didáctica "Introducción al Cálculo Matricial", en un grupo de 2º de bachillerato. Esta unidad tiene por objetivo principal el de proporcionar las primeras herramientas matriciales que permiten posteriormente introducir el cálculo de determinantes y la aplicación a la resolución de sistemas lineales y a la geometría afín tridimensional.

El grupo está integrado por siete alumnas y catorce alumnos pertenecientes a las modalidades de Tecnología y de Ciencias de la Naturaleza y la Salud. Este grupo es el único de este nivel en el que se cursa la materia de matemáticas, por lo que resulta imposible contar con grupo de control, a efectos de realizar un estudio comparativo de los resultados.

OBJETIVOS Y CONTENIDOS

Tal como se indica en la página de inicio de la unidad, los objetivos concretos que se persiguieron fueron los que siguen:

• Identificar el lenguaje propio del cálculo matricial.

• Identificar los distintos tipos de matrices.

• Dominar el cálculo matricial: operaciones matriciales y sus propiedades.

• Reconocer, desde el punto de vista práctico, la utilidad de las matrices en la representación de problemas extraídos de diversos ámbitos científicos y técnicos.

Los contenidos tratados en la experimentación fueron los propios de la unidad, tal y como vienen especificados en el currículo oficial de la Conselleria de Educación de la Xunta de Galicia, encaminados a la prueba de Selectividad.

Así, la unidad está concebida para presentar el álgebra matricial, introducida por una aplicación inmediata. Debido a que la finalidad casi exclusiva del álgebra matricial, a nivel de 2º de bachillerato, es la aplicación del cálculo matricial y del cálculo de determinantes (que no se trata en esta unidad) a la geometría, no resulta necesario profundizar en las muchas aplicaciones que tiene en otros campos. Por este motivo, lo que se pretende es dar la posibilidad de que el alumnado, que con frecuencia se pierde en la exposición de unas cuantas reglas de cálculo matricial, pueda visualizar, incluso sin la ayuda del profesor, los convenios de nomenclatura y las operaciones matriciales, junto con sus propiedades.

Es evidente que se podría proponer el tema de una forma mucho más extensa, con aplicaciones diversas y profundizando más en la utilidad de las matrices, fuera del campo de la geometría, que será tratada en su momento y de forma específica durante la marcha del curso. Sin embargo, no parece oportuno prolongar innecesariamente una exposición que por otra parte, debido a su carácter puramente algebraico, no obtiene tanto beneficio de las posibilidades gráficas de Descartes como otros campos de la matemática como pueden ser las funciones o la geometría. Esta circunstancia se ve refrendada por el hecho de que existen muy pocas unidades y actividades publicadas con Descartes que se ocupen de aspectos puramente algebraicos, y en particular, no existe ninguna que presente las operaciones matriciales.

DESARROLLO

Para la aplicación práctica de la unidad, se usó un aula de quince ordenadores conectados en red y con acceso a Internet. Además, se dispuso de un proyector de video, que permite proyectar imagen de un monitor.

Debido a la escasa dificultad conceptual de los contenidos, el trabajo se podría haber desarrollado en tres o cuatro sesiones.

En la práctica fueron cinco las que se utilizaron, ya que la familiarización inicial con la navegación WEB y con el manejo de las escenas ralentizó un poco el arranque y el trabajo autónomo del alumnado.

Esta es la película de la experiencia.

El primer día fue dedicado a realizar una exposición introductoria del proyecto. En esta introducción se hizo referencia al curso Descartes, a la publicación de las unidades para libre uso por parte del profesorado y alumnado interesado y a la posibilidad de libre adaptación de las páginas. Una vez presentado el curso, y con la ayuda del proyector de video, se realizó una primera visita a la página de inicio de la unidad, en la que se exponen los objetivos. Tras esta, se visitó inmediatamente la segunda página, en la que se define el concepto de matriz y se presenta el lenguaje matricial (filas y columnas, elementos, subíndices ...).

Esta segunda página se utilizó para mostrar el manejo de las escenas (botones y controles), antes de permitir que el alumnado las manipulase de manera directa.

El resto de sesiones se realizaron ya con los alumnos y alumnas trabajando por parejas en el aula de informática, evitando cualquier intervención innecesaria por parte del profesor. De esta forma, se intentó que el alumnado fuese capaz de ir avanzando en la unidad y realizando autonomamente las actividades. Las pocas intervenciones del profesor se produjeron para resolver individualmente las dificultades en la comprensión de algún concepto, orientar sobre el sentido de algunas actividades y resolver cuestiones de tipo técnico, relativas al funcionamiento de los equipos o de las escenas. En contadas ocasiones fue necesario realizar una exposición de carácter colectivo, debido a la aparición de alguna duda generalizada.

La última sesión, ya de vuelta en el aula propia del grupo, se dedicó a pasar el cuestionario, discutir la experiencia, resolver algunas dudas, destacar ciertos aspectos relevantes de la unidad e indicar el sentido de la misma como preparación para entrar en el resto del tema (Matrices y Sistemas Lineales).

VALORACIÓN DEL ALUMNADO (ENCUESTA)

Fueron 20 los alumnos y alumnas que respondieron a la encuesta, para lo que se utilizó el modelo propuesto desde el curso. Los resultados obtenidos, en síntesis, son los que siguen.

ENCUESTA CERRADA

En la encuesta cerrada, y hablando siempre en media, se aprecia una diferencia grande entre las respuestas a las dos primeras preguntas (que reflejan la realidad de la percepción que el alumnado tiene de las matemáticas, pareja al éxito que obtiene. Se parte de un grupo de alumnos que tiene un gusto mas bien reducido por la materia, aunque con notables diferencias internas. Es por lo tanto un grupo bastante heterogéneo con respecto a este primer aspecto. Esta heterogeneidad se reduce ligeramente cuando pasamos a hablar de resultados, ya que es ahí donde se pone de manifiesto la eterna losa que para el alumnado resulta esta asignatura "maldita". La inmensa mayoría consideran sus resultados "no buenos".

El resto de cuestiones, que son las que se refieren directamente a la experiencia y sus posibilidades, obtienen respuestas mucho más homogeneas, con cocientes entre la desviación típuica y la media inferiores a 0.3 en todos los casos. Destacan, en particular, las respuestas a las preguntas relacionadas con la comparación entre el método interactivo desarrollado durante esta experiencia y la tradicional exposición de aula. En estas respuestas se siente un clamor silencioso en favor de la variedad que supone alternar la exposición en el aula (que desde mi punto de vista personal, tiene un gran valor, principalmente en los niveles académicos más altos) con la utilización de nuevas metodologías como las que aquí se aplicaron. Seguramente la clave del éxito en la mejora de la formación matemática e intelectual, en general, está en la buena combinación entre ambas.

Las preguntas sobre preferencias entre el método tradicional y el uso de estas unidades y el gusto por el trabajo desarrollado en grupo y con el ordenador (preguntas 5, 7, 8 y 9) fueron respondidas con nota media superior al cuatro, resultados que, en cierto modo, eran "cantados", debido a lo que ya sugerí antes: cualquier novedad con respecto al método tradicional es siempre bienvenido por el alumnado.

Hay que matizar, sin embargo, que la percepción que el alumnado tiene acerca del aprendizaje real obtenido con esta unidad didáctica es un poco inferior al grado de satisfacción expresado en las preguntas comentadas anteriormente, circunstancia que se produce antes de tener una imagen fiable de los conceptos y procedimientos adquiridos a través de prueba escrita. Lo cierto es que la dificultad intrínseca de esta unidad, por lo que se refiere a la comprensión de conceptos complejos, cuestiones teóricas arduas o procedimientos complicados, es mínima. La única dificultad que se aprecia es la de adquirir con cierta soltura el lenguaje propio de las matrices y retener la mecánica de las operaciones (simple, por otra parte, y que se domina facilmente tras un breve periodo de práctica). Es posible que este bajo nivel de dificultad de la unidad haga que el alumnado no perciba un gran aprovechamiento de las herramientas interactivas y que sienta una leve frustración en este sentido. Ya se dijo en la presentación de la unidad didáctica que este campo del álgebra matricial no es el más propicio para desplegar toda la potencia visual del applet Descartes y posiblemente el grado de satisfacción sería mayor en el caso de abordar unidades relacionadas con el cálculo o la geometría. Así, las respuestas a la última pregunta, relativa a la posibilidad de que la matemática se aprenda utilizando estas herramientas, son en general afirmativas pero en cualquier caso no de forma decidida y taxativa, lo que viene a corroborar la idea de que no se le ha sacado todo el partido al applet (en este caso) y que el alumnado sigue apreciando la exposición del profesor como elemento importante para centrar y guiar la adquisición de conocimientos matemáticos.

ENCUESTA ABIERTA

La encuesta abierta da algunas claves interesantes para valorar la percepción del alumnado.

Para comenzar, entre lo que más gustó existe una clara convergencia hacia aspectos como el aprecio por las posibilidades gráficas del applet, la interactividad y el trabajo en grupo. Otros comentarios matizan un poco más y hacen referencia a la posibilidad de que cada alumna y alumno avance con un ritmo propio en el aprendizaje, lo novedoso y ameno del método y la diversificación que este representa con respecto al método clásico.

La pregunta contraria, lo que menos gustó, obtiene respuestas más dispersas y referentes en su práctica totalidad a aspectos técnicos, entre otros los siguientes:

• se echa en falta alguna explicación más acerca de lo expuesto, así como algunas mejoras en la formulación de las cuestiones propuestas;

• algunos alumnos proponen la incorporación de música al aula durante las sesiones, cuestión que no resulta imposible en absoluto ni es desdeñable, ya que probablemente se podrían crear buenos ambientes de trabajo: se estudiará, desde luego, y yo mismo me considero interesado como amante de la música que soy;

• también se propone la incorporación de voz a las páginas de actividades, lo que parece un poco más complejo.

Sobre lo que se cambiaría y lo que no, las respuestas se refieren principalmente a los aspectos que menos gustaron, relatados no comentario a la pregunta anterior. En general se echó en falta un poco más de "alegría" en la página, en cuanto a los colores utilizados y a la propia animación de la misma (seguramente, el alumnado esté acostumbrado a la vistosidad y reclamo de la mayoría de las páginas de internet). Otro de los aspectos que aparecen es la formulación y la repetitividad de algunas cuestiones y la falta de explicaciones. También proponen incorporar las soluciones de las actividades.

Por último, los comentarios que aparecen en la quinta pregunta vienen a refrendar lo que ya se ha expuesto con anterioridad y aportan, como visión colectiva una valoración general buena de la actividad desarrollada, del trabajo en grupo (en pareja, en este caso) y de la oportunidad de conocer, frente a la rutina habitual, nuevos métodos de aprendizaje que incorporan interactividad, ritmos personalizados de adquisición de conocimientos y una mayor significación de los conceptos y procedimientos tratados.

CUESTIÓN TÉCNICA

Tengo que referirme a un fallo que se detectó en el funcionamiento de algunas escenas y que afectó a dos o tres ordenadores, en tanto que las mismas escenas funcionaron perfectamente en el resto de ellos. El fallo consiste en que durante la generación de matrices, la intención de que los elementos tuviesen un comportamiento aleatorio (con ciertas condiciones para no complicar innecesariamente las escenas) no se cumplió y se obtuvieron matrices con filas en las que todos los elementos tenían el mismo valor fijo (3). Se me escapa cual pueda ser el motivo de este fallo, ya que, como dije, se produjo solo en algunos ordenadores y no en el resto, por lo que me inclino a pensar que se debe a la manera en que cada ordenador, de forma particular, realiza la generación de números aleatorios, y en especial, al número de decimales con los que trabaja y al diseño de la generación aleatoria de elementos para componer cada matriz. este diseño consiste basicamente en generar un único número aleatorio con suficientes decimales, de forma que los elementos de la matriza  se obtienen de la serie de decimales del número aleatorio. Si el ordenador genera un número aleatorio con insuficientes decimales, esta serie se convierte en ceros con demasiada prontitud y por lo tanto los decimales utilizados en la obtención de cada elemento de la matriz son todos iguales a partir del comienzo de tal serie de ceros, lo que produciría (si esta fuera la causa del problema) que el algoritmo diseñado diese como resultado el número 3 a partir de cierta posición de la matriz.

Por lo demás el funcionamiento de las escenas fue correcto, salvo los pequeños problemas derivados de la lentitud del proceso en algunos casos y otros menores.