Informe Final

Con esta práctica se pretende comprobar las ventajas e inconvenientes que conlleva la utilización de los materiales que se ofrecen y recoger información que permita determinar cuáles son las principales dificultades que se encuentran en la utilización de Unidades Didácticas con Descartes, así como la disponibilidad del profesorado para utilizar estas herramientas.

Para la experiencia propuesta se ha escogido un grupo de alumnos de 4º de ESO. La elección del perfil está condicionada por la disponibilidad de las horas lectivas del alumnado y de la sala de ordenadores, así como de los grupos actuales asignados a la docencia del autor. La situación ideal es desarrollar la experiencia con alumnos de 2º de Bachillerato de la modalidad de Ciencias, siempre escasos de tiempo.

El principal inconveniente que causa la elección del nivel de 4º es la madurez intelectual que requieren los conceptos que se presentan en la Unidad Didáctica. No obstante, el grupo elegido es, en particular, un grupo lleno de curiosidad, ansioso de conocimientos, receptivo, participativo e inquieto. El grado de aprobados en Matemáticas alcanza el 98% sobre 20 alumnos.

El material disponible está formado por los 10 ordenadores de la sala, no conectados en red, y una pizarra blanca.

El principal objetivo de la unidad didáctica es incentivar la curiosidad sobre entes puramente matemáticos de uso cotidiano en el aula, descubriendo nuevas propiedades, y sobre todo motivar la reflexión y el razonamiento correcto mediante un tema de choque que contraste fuertemente con ideas que pudieran parecer intuitivas a primera vista.

El tema elegido es la cardinalidad de conjuntos, lleno de paradojas y controversias, apasionante por el tratamiento del infinito y del continuo.

No obstante, es necesario preparar la intuición del alumnado y establecer unos conocimientos básicos que nos sirvan de punto de partida. Es por ello que la primera noción que aparece en la Unidad Didáctica es la de aplicación entre conjuntos, esencial para el posterior desarrollo del tema. La incomprensión de dicho concepto impediría el avance en la materia. No es tan importante tener claras las ideas de inyectividad y sobreyectividad como la de aplicación biyectiva, que es fundamental.

Presentadas las aplicaciones, se trata ahora de que el alumno infiera la idea de número de elementos de un conjunto como aquello que es común a los conjuntos equipotentes. Trabajaremos primero sobre conjuntos finitos, donde el salto intuitivo es inmediato, para pasar después a conjuntos infinitos. Se establece la noción de cardinal de un conjunto como una abstracción del número de elementos del mismo y se prepara el camino para introducir los cardinales transfinitos.

En primer lugar aparece el cardinal del numerable con el conjunto de los números naturales como su más claro exponente, y posteriormente de dan ejemplos de otros conjuntos de uso común cuyo cardinal es el mismo: son los números enteros, Z, y los números racionales, Q. En este punto deberán aparecer las primeras discusiones sobre la materia, que serán guiadas y fomentadas por el profesor.

El continuo se introduce directamente mediante el conjunto de los números reales (la hipótesis del continuo impide hacerlo de otra forma) demostrando a la antigua usanza que el intervalo (0,1) no es numerable, para pasar después a la escena 5 donde se construye una aplicación biyectiva entre (0,1) y R. Es necesario que el alumno se convenza de que esto es realmente así, ya que este resultado es uno de los más impactantes.

En la siguiente escena se construye una aplicación entre (0,1) y (0,1)x(0,1) mostrando así que el cuadrado unidad (abierto) es un continuo, reincidiendo de esta forma en el choque mental de lo aparentemente evidente con los resultados obtenidos por razonamiento, y mostrando que la razón nos lleva a consecuencias que contrastan con la intuición.

Debido al nivel del alumnado el avance queda interrumpido en este punto, pero se espera abrir una puerta al interés por un tema, a mi juicio, verdaderamente apasionante. Es aquí donde el profesor puede comprobar con facilidad si la Unidad Didáctica ha suscitado curiosidad y valorar el nivel de comprensión de la materia. Por supuesto que la Unidad puede extenderse por varias líneas, pero estimo que lo expuesto es suficiente para una pequeña introducción al tema.

Las clases se dividirán en cinco sesiones continuadas que ocuparán toda o parte de la hora lectiva. Debido a la dificultad del tema, es conveniente introducir al estudiante en el manejo de la herramienta Descartes presentando algunas unidades didácticas sin entrar en detalles. Esto puede llevar una sesión a la que llamaremos Sesión 0.

Sesión 0 : Primer contacto con el ordenador. Introducción al uso de la herramienta Descartes y navegación por diferentes Unidades Didácticas a modo de presentación. Encuesta sobre la utilidad de Descartes, opiniones, sugerencias, dificultades, ...

Sesión 1 : El concepto de aplicación. Repaso de las ideas intuitivas de conjunto y elemento, noción de aplicación. Los alumnos experimentarán con la Escena 1 y responderán en su cuaderno de notas a una serie de cuestiones planteadas por el profesor en la línea que sugiere la escena.

Sesión 2 : Numerabilidad. En primer lugar se utilizará la Escena 2 para definir el cardinal de un conjunto como una abstracción del número de elementos del mismo. Puede darse aquí la definición de conjunto finito si se desea (no coordinable con una parte estricta del mismo). Seguidamente se repasarán los conjuntos de números con los que se va a trabajar, para refrescar la memoria de los alumnos: N, Q, R, intervalos de la recta, R², etc. para pasar posteriormente a discutir sobre el cardinal de N y otros conjuntos numerables (números pares, impares, primos, negativos, ...) y terminar con la demostración de la numerabilidad de Z haciendo uso de la Escena 3. Se realizará un pequeño cuestionario para comprobar la asimilación de conceptos.

Sesión 3 : Q es numerable. Tras recordar algunos resultados referentes a la densidad de Q (entre dos números racionales hay una infinidad de racionales, no hay un elemento máximo en un intervalo abierto, ...) y a la representación mediante fracciones irreducibles, se usará la Escena 4 para hacer ver que Q es numerable y sembrar la duda de si habrá conjuntos que no sean numerables. El control de conocimientos se seguirá mediante cuestiones.

Sesión 4 : La potencia del continuo. Demostración rigurosa de la no numerabilidad de R. Para ello es recomendable dar una idea vaga de los sistemas de numeración: lo suficiente como para ver que cualquier número del intervalo (0,1) admite una representación en binario. (Puede que este tema haya sido tratado por algún alumno matriculado anteriormente en la asignatura de Tecnología o en Tecnologías de la Información - Informática - ; no obstante, ahí queda como sugerencia para desarrollar una Unidad Didáctica con Descartes). La Escena 5 muestra el paso siguiente, con el que se espera abrir un debate que será del que tomaremos nota: preguntas, reflexiones individuales, discusiones colectivas... El profesor deberá insistir e incentivar el razonamiento. Puede pasarse el cuestionario n.º 5.

Sesión 5 : R² es equipotente a R. Nos ayudaremos de la Escena 6, cuya solución es bastante elemental, y terminaremos con la continuidad de R³, esbozando algún ejemplo de cardinal mayor (por ejemplo P(R), P(P(R)), ...). Al final se pasarán las encuestas obligatorias para hacer la estadística.

3.- ¿Crees que sería más útil desarrollar las clases de Matemáticas en el aula de Informática que al modo tradicional? ¿Por qué?

2.- Tienes dos conjuntos: uno con 5 elementos y otro con 8. ¿Es posible establecer una aplicación biyectiva entre ambos?¿Por qué?

2.- En algunos libros, el número 0 se considera un número natural y en otros no. ¿Tendrían el mismo cardinal ambos conjuntos?¿Por qué?

3.- Supón que a un conjunto numerable le añadimos 7 elementos. ¿Seguiría siendo numerable?¿Y si le añadimos una cantidad numerable de elementos?¿Por qué?

4.- Tienes dos conjuntos disjuntos. El primero es equipotente a {1, 2, 3, 4, 5}, y el segundo a {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. ¿Qué quiere decir esto?¿Cuál es el cardinal de la unión?

5.- ¿Puede ser la suma de infinitos elementos un número finito? Pon un ejemplo.

3.- Ordena los siguientes conjuntos según su cardinal: Q, N, Z, {números primos}.

4.- Imagina que las hojas cuadriculadas de tu cuaderno son infinitamente grandes. ¿Podrías indicar algún procedimiento para enumerar todos los cuadritos?

5.- ¿Qué cardinal es mayor: el de números racionales entre -1 y 1, o el de números racionales entre -2 y 2?¿Por qué?

1.- En un intervalo de tiempo, ¿qué cantidad de instantes hay? ¿Es numerable?

3.- Generaliza el ejemplo de la escena que has visto. ¿Cómo construirías una aplicación biyectiva entre los puntos de un círculo (sin la circunferencia) y todo el plano?

4.- En la escena 5, si considerásemos el intervalo [0,1], ¿cuáles crees que serían las imágenes del 1 y del 0?

	Pregunta	Respuesta media	Desviación
1	¿Te gustan las matemáticas? (1-nada) y (5-mucho)	2.97	0.95
2	¿Qué nota sueles sacar en matemáticas? (1-insuficiente) y (5-sobresaliente)	3.31	0.75
3	¿Te interesó la experiencia cuando te la contaron? (1-nada) y (5-mucho)	2.94	0.64
4	¿Has tenido dificultades para hacer las actividades? (1-muchas) y (5-ninguna)	2.31	0.93
5	¿Prefieres este sistema al tradicional? (1-nada) y (5-totalmente)	2.91	1.29
6	¿Cuánto te parece que has aprendido? (1-nada) y (5-mucho)	1.75	0.68
7	¿Te ha gustado la experiencia? (1-nada) y (5-mucho)	3.13	1.26
8	¿Te ha gustado trabajar en equipo? (1-nada) y (5-mucho)	4.13	0.72
9	¿Te gustaría continuar trabajando con este método? (1-nada) y (5-mucho)	2.66	0.87
10	¿Crees que es posible aprender las matemáticas así? (1-nada) y (5-todo)	3.19	1.17

5.- Expresa tu valoración general o los comentarios que creas que son de interés:

La disposición de los alumnos a la hora de ir al Aula de Informática ha sido bastante positiva, aunque en un principio se extrañaron de la posibilidad de dar clases de Matemáticas en dicho aula; más bien creían que iban a utilizar la herramienta de Internet para navegar buscando información.

En el Aula contamos con 10 ordenadores capaces de soportar la herramienta Descartes, así que se han agrupado los alumnos por parejas, lo que ha facilitado el trabajo en equipo que, como queda patente en las encuestas, ha sido uno de los mayores alicientes de la actividad.

He apoyado la explicación del tema con el método tradicional de discurso y explicación con pizarra, debido sobre todo a la dificultad del mismo. Las preguntas más frecuentes en las primeras sesiones han ido encaminadas a la calificación en la materia.

La acogida del programa ha sido muy positiva durante las sesiones 1, 2 y 3, pero posteriormente los alumnos se han ido cansando y al final mostraban algo de desinterés. He de decir que, como también queda manifiesto en las encuestas, han ido perdiendo el hilo de la explicación (sobre todo después del fin de semana y el lunes sin clase de Matemáticas) y he notado cierta desorganización mental al no tener material disponible en las manos: un libro, unos apuntes, ... Los alumnos parecen tener sus conocimientos desprotegidos y una sensación de no haber aprendido algo sólido.

Mi opinión, compartida también por algunos de mis alumnos, es que las clases al estilo tradicional son mucho más útiles sobre todo para explicar los conceptos e introducir la materia (y en cierta forma insustituibles). Una vez hecho esto, y con dominio del tema, es posible e incluso recomendable, utilizar una herramienta informática para comprobar y reforzar lo asimilado (si el tema se presta a ello). Algo así como que es preferible saber sumar antes de usar una calculadora.

Con respecto a las encuestas, siempre hay alguna respuesta surrealista que descartar en las estadísticas.

^