INTRODUCCIÓN A LAS  CADENAS DE MARKOV

Métodos Estadísticos y numéricos

2º BACHILLERATO / CIENCIAS DE LA SALUD - TECNOLOGÍA

En la mitad del segundo trimestre, tuvo lugar la experimentación en aula de la unidad didáctica "CADENAS DE MARKOV", en un grupo de 2º de bachillerato (2ºA y B que se juntan en una misma clase  para esta asignatura optativa de MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS).

Esta unidad tiene por objetivo principal el de proporcionar una introducción a los procesos llamados de Markov ( matemático ruso 1656 - 1922).Markov es recordado, particularmente, por su estudio de las cadenas secuenciales, que consiste en variables al azar en las cuales la variable futura es determinada por la preexistente pero independiente de la manera en que ésta se generó de sus precursoras. Este trabajo lanzó la teoría de los procesos estocásticos. Sus postulados están considerados como los antecedentes de la teoría matemática de la información. Entre otros campos de la investigación, el modelo de Markov está siendo aplicado al análisis tendencial o prospectivo del desarrollo tecnológico, como instrumento de cálculo de que un hecho ocurra. Para ello se utilizan dos factores probabilísticos: la secuencia de los hechos y el tiempo transcurrido entre acontecimientos sucesivos, esto es, la transición de estados y tiempo de permanencia en el estado.

El grupo está formado por veintitrés alumnos pertenecientes a las modalidades de Tecnología y de Ciencias de la Naturaleza y la Salud. Este grupo es el único de este nivel en el que se cursa la materia de Métodos Estadísticos , por lo que resulta imposible contar con grupo de control para comparar  los resultados.

OBJETIVOS Y CONTENIDOS

Los objetivos concretos que se persiguieron fueron los que siguen:

•  Modelar situaciones contextualizadas de los mundos científico, tecnológico, económico y social, utilizando las cadenas de Markov para estudiar su evolución, asignándoles probabilidades a los diferentes estados.

• Se trata de comprobar si los alumnos y las alumnas identifican ciertos fenómenos con las cadenas de Markov, si saben distinguir sus estados y representarlos, y si calculan las probabilidades correspondientes utilizando las operaciones con matrices u otros métodos.

Los contenidos tratados en la experimentación fueron los propios de la unidad, tal y como vienen especificados en el currículo oficial de la Conselleria de Educación de la Xunta de Galicia,

• Contenidos

• 3.1.Cadena de Markov.

• 3.2.Estados del sistema. Probabilidades de transición .

• 3.3.Notación matricial. Matriz de transición. Grafos o diagramas.Vector y matriz de probabilidades. Vector de probabilidad inicial. .

• 3.4.Distribución estacionaria.

• 3.5.Estado absorbente. Cadenas de Markov absorbentes.

Se podría proponer el tema de una forma mucho más extensa, con aplicaciones diversas y profundizando más pero es un tema que se expone en cursos superiores de carreras como Ingenierías, Informática y Matemáticas (rama de Estadística) , por ejemplo, y el tratamiento a estos niveles de Bachillerato no puede ser el mismo.  Esta circunstancia se ve agravada por el hecho de que existen muy pocos libros de texto publicados que desarrollen los conceptos de esta asignatura. Yo sólo conozco tres que aprovecho la ocasión para citar como bibliografía utilizada en el desarrollo de la Unidad (dos de ellos están en gallego):

RODRÍGUEZ ÁLVAREZ, F. - GARCÍA SUÁREZ, X.:Introducción aos métodos estatísticos e numéricos. Edicións Xerais de Galicia.Vigo

CAO ABAD, R.-LABORA CASTRO, A. Y OTROS: Métodos estatísticos e numéricos.Bacharelato 2º . Baía Edicións. A Coruña.

SEYMOUR LIPSCHUTZ,Ph.D.: PROBABILIDAD.  Teoría y problemas. Libros McGRAW-HILL. México.

DESARROLLO.

LUGAR Y CONDICIONES DE LA EXPERIENCIA:

Para la aplicación práctica de la unidad, se usó el aula de Informática dos (esta aula está muy ocupada otras horas)  horas a la semana de nueve ordenadores (Pentium II) conectados en red y con acceso a Internet. En esas dos horas los alumnos se distribuyeron por equipos y realizaban las actividades que la unidad sugiere y de las que se les proporcionó fotocopias previamente. También tenían que traer el cuaderno de clase para tomar apuntes y desechar estrategias. Al final del tema se les proporcionó también un resumen teórico por escrito para repasar en casa entes del examen. Además, se dispuso de un cañón  de video en el salón de actos del Centro que fue utilizado las otras dos horas semanales para realizar ejercicios con un portátil que la profesora utilizaba y que  proyectaba  en la pantalla del salón. Los alumnos copiaban los resultados de los ejercicios y sugerían las respuestas. También hay que decir que la profesora utilizó bastante el encerado (¡será la costumbre!) , sobre todo en la introducción de los conceptos y en la explicación del producto de matrices.

Se utilizan:

• Carpeta  UnidadMarkovB, para las explicaciones.
• Carpeta markovexamen, para el examen.

CURIOSIDADES

Al principio mientras acababa de instalar el programa les dejé que buscaran en Internet datos sobre Markov, quién era y su vida. También que buscasen "Cadenas de Markov" y que me dijesen en que tipo de carreras se estudiaba esta materia...Los resultados les impactaron un poco y les picó la curiosidad.

 Después se familiarizaron con el manejo de las escenas y del programa Descartes, aunque ya lo utilizamos dos días para repasar los conceptos de las distribuciones Binomial y  Normal. De paso les había enseñado la página web de DESCARTES  para que los que tuviesen Internet en casa usasen las unidades que allí se exponen para libre uso por parte del profesorado y alumnado interesado. Les extrañó un poco que hubiese apuntes de este tipo en Internet.

Les informé ya entonces de que estaba haciendo el curso de Descartes. Sobre todo a los alumnos repetidores, cuatro, que esperaban que se explicase con Excel, como el curso anterior.

DESARROLLO.

Tiempo.-Dispusimos , por razones  de calendarios de exámenes, de 12 horas de clase y 1 hora de examen, para realizar la experiencia.

Dificultades.-

• Instalar el programa en los ordenadores y luego desinstalar la unidad  e instalar la carpeta markovexamen que usaron en el examen (sin casi teoría). Esta dificultad hace referencia a que siempre está ocupada el aula de Informática , incluso en muchos recreos.
• Fallo en una escena del vector fijo de orden 3 (observado en casa por la profesora , faltaba un paréntesis), que se subsanó en el aula lo que vino bien para que los alumnos observaran el código HTML que se oculta detrás de las escenas. Algunos alumnos ya sabían de esto...También les costó creer que el tema lo hubiese hecho la profesora...
• Me pusieron la pega de que en las escenas que estudia la regularidad de las matrices no debería poner "No regular" y luego "Regular" una vez que se prueban las potencias enésimas. Tienen razón, la matriz de transición no cambia. Así que para el año cambiaré lo de que ponga "No regular" cuando lo sea.
• También el tema queda un poco corto al no haber escenas para matrices de transición 4x4. Para el año lo subsanaré.
• No saben matrices ni determinantes  la mayoría, pues sólo 13 de los alumnos han elegido Matemáticas II y aún las empiezan a dar ahora. Con  lo que se les tuvo que explicar la notación matricial y el producto de matrices y lo de la matriz inversa para que entendiesen el tema. Se usó el encerado y las dos páginas añadidas.
• Les hubo que dar fotocopias de los enunciados de los problemas de las escenas para que copiasen luego los resultados al lado con las explicaciones oportunas.
• También se les dio un resumen teórico para repasar en casa. Muchos querían copiar la unidad en un cd para repasar en casa, pero no les dejé porque muchos no tienen ordenador y estarían en desventaja. si todos tuviesen ordenador no harían falta las fotocopias.
• También observé que unos ordenadores tenían distinto tamaño de letras que otros y eso hacía que se descolocasen  las imágenes de las fórmulas a lo largo de la unidad. Se solucionó realizando los pasos: Ver / tamaño del texto / mediana.
• En algunos ordenadores no había FrontPage. Hubo que instalarlo cuando cambié el código.
• Algún teclado no introducía los datos bien. Las teclas forzadas.
• En el Salón de Actos, aparte de que hacía mucho frío, se perdía atención al explicar la profesora y hacer ella los ejercicios. aunque creo que para los que siguen las clases les servía de repaso al repetir las explicaciones más veces, porque quieras que no en el aula de Informática son muchos y es imposible atender a todos  en el momento en que lo requieren.

ACTITUD DE LOS ALUMNOS.-

• Interesada por el tema en sí y el programa y motivada por el uso de ordenadores en equipo ( dos/tres por aparato).
• Un poco "perdidos", al principio, el tema tiene dificultad tanto de enseñarlo como de aprenderlo. La ayuda del profesor y las explicaciones generales e individuales fueron constantemente requeridas.
• Algunos se han quedado con ganas de hacer algo con el programa Descartes. Pero no va a ser posible. Les expliqué un poco el cómo sería...Cambiaron colores y algo más...
• En el examen por equipos estaban entusiasmados y ensimismados y daba gusto verlos discutir y distribuirse tareas.

VALORACIÓN DEL ALUMNADO (ENCUESTA)

Fueron 20 los alumnos y alumnas que respondieron a la encuesta, para lo que se utilizó el modelo propuesto desde el curso. Los resultados obtenidos son los que siguen.

ENCUESTA CERRADA

PREGUNTAS:

1ª) "¿Te gustan las matemáticas?

2ª) ¿Qué nota sueles sacar en Métodos?

3ª) ¿Te interesó la experiencia cuando te la contaron?

4ª) ¿Has tenido dificultades para hacer las actividades?

5ª) ¿Prefieres este sistema al tradicional?

6º) ¿Cuánto te parece que has aprendido?

7ª) ¿Te ha gustado la experiencia?

8ª) ¿Te ha gustado trabajar en equipo?

9ª) ¿Te gustaría continuar trabajando con este método?

10ª) ¿Crees que es posible aprender matemáticas así?

ENCUESTA ABIERTA

1. Indica qué es lo que más te ha gustado de esta experiencia:

Una gran mayoría apunta que el trabajar en  equipo y con ordenadores, además de con el programa Descartes les parece muy positivo. Respecto del tema les resultó interesante porque dicen que es una parte de las matemáticas que nunca habían dado.

A algunos les gustó no tomar tantos apuntes como en las clases usuales.

2. Indica qué es lo que menos  te ha gustado de esta experiencia:

Distintas respuestas. Unos dicen que "hacer exámenes"(¡por ser optativa!) y otros , la base matemática necesaria. Otros, los menos,  la dificultad, otros el ir al Salón de Actos, la falta de experiencia con el ordenador , que no haya más ordenadores, no poder trabajar con el material en casa, la falta de atención de la profesora por estar ocupada con otros alumnos (es decir, el número da alumnos por aula,23), copiar resultados, que querían hacer ellos el programa....

3. Indica lo que cambiarías y lo que no cambiarías:

Cambiarían .

A algunas personas de su equipo que no trabajan. O al revés que se "adueñan" del ordenador y no dejan hacer nada a los otros.

Renovar los ordenadores.

Menos alumnos en la clase.

No hacer exámenes.

Más atención.

Más tiempo.

Ir sólo al aula de informática.

No cambiarían:

El trabajar en grupo.

El trabajar con los ordenadores.

4. Si quieres aclarar algunas de las respuestas dadas en la encuesta abierta, escríbelo aquí:

Todos lo dejaron en blanco. Pero uno puso:" Un uso excesivo del ordenador podría ser perjudicial. Debe de ser una herramienta pero no sustituir al profesor ni el trabajo del alumno". Totalmente de acuerdo.

5. Expresa tu valoración general o los comentarios que creas que son de interés:

Destacaron:

-Que tema y la asignatura es interesante y útil.

- Que es una experiencia buena y positiva.

- Que fue divertido.

- Su facilidad.

-La comodidad de esta herramienta.

- Que se puede mejorar.

Otros aprovecharon la ocasión para juzgar la asignatura y pedir que no se hagan exámenes.

También hubo uno que que dijo que no le interesaba nada...

Cuatro lo dejaron en blanco.

VALORACIÓN PERSONAL

La verdad es que el cursillo me ha resultado muy interesante desde el principio, tanto las actividades a realizar, como las actividades que hay realizadas por otro profesores y que pienso mirar con detenimiento y adaptar a algunas de mis clases en la medida de lo posible . Porque aunque trabajar con ordenadores es fundamental creo que hay cuestiones que deben de ser trabajadas personalmente por el alumno. Porque en este tema no me ha quedado claro si el alumno sabe multiplicar matrices, creo que no saben cómo se calcula una inversa de una matriz y desconocen qué hice en la escena que resuelve el vector fijo. Aunque se lo expliqué. No me ha importado porque el objetivo eran las cadenas de Markov que, sin ordenadores, sería difícil ver qué ocurre en la potencia enésima de la matriz de transición. (Admiro a Markov por ello).

Al empezar a realizar la unidad didáctica no sabía ni por dónde empezar y supongo que alguien más experto en Descartes habría solucionado algunas cuestiones de forma más fina y de seguro que con menos trabajo...

También me costó adaptarme al programa y al código HTML que nunca antes había usado.

En las clases bien. Experimenté sensaciones agradables, como cuando usé por primera vez el portátil con el cañón de video. También cuando apareción la página del producto de matrices que tenía muchos colorines y aplaudieron...También noté el aprecio de los buenos alumnos por enseñarles todo esto y ello me compensó las muchas horas y folios que dediqué a esta labor.

Hacer constar que cuando se explique el tema usando esta unidad se aclare con el diagrama en árbol cómo se pasa de un estado a otro en dos  pasos, en tres pasos y ver la correspondencia con los elementos de la  potencia segunda y tercera de la matriz, respectivamente. Quizás no está claro en la unidad...

También que la última parte, cadenas absorbentes, no les ha quedado muy clara, por eso me permití poner unas notas teóricas en el examen.

Resultados del examen por equipos, puntuados sobre 6. (el examen individual que puntuará sobre 4 se realizará el día 16 y no puedo apuntar los resultados)

Hubo un 82.61% de aprobados:

Así que bien. Estoy satisfecha, aunque mejoraré la experimentación para el año próximo en los aspectos sugeridos por los alumnos además de lo que ya cambié con las ayudas y sugerencias de mi Tutor del curso D. Alfredo Pena. Además intentaré  disponer del aula de informática todo el tiempo, avisando a principio del curso.